设f满足微分方程及初边值条件:y’=(2y+2sinx)/x-cosx ,y(0)=0,y(π)=1

不就是不定积分吗 (y/x^2)'=2sinx/x^3-cosx/x^2=(-sinx/x^2)' 所以y/x^2=-sinx/x^2+C

一阶线性方程y'+p(x)y=q(x)有通用解法，也就是常数变易法，自己去看看教材，比我这里写两句话要清楚多了。

对于y'+p(x)y=q(x)，先乘上积分因子e^(∫p(x)dx)，然后就得到了(e^(∫p(x)dx)y)'=e^(∫p(x)dx)q(x)，然后再积分一次就行了。万一真的碰到积分积不出来也就算了，不论如何换方法也不可能积出来了，不过考试是不会有这种题的。 对于这里的例子，如果是y’=(3y+3sinx)/x-cosx，p(x)=-3/x，那么e^(∫p(x)dx)可以取成e^(-3lnx)=1/x^3，解出来是y=Cx^3-sinx；如果是y’=(5y+5sinx)/x-cosx那么积分因子可以取1/x^5，解是y=Cx^5-sinx。 后面算最佳逼近的时候直接用展开式g=a_1 * 1 + a_2 * x^2 + a_3 * sinx，然后把三个基底分别和f做内积得到关于a_i的方程组，解一下就行了。这东西教材上总有了吧。接下去你自己复习，再搞不懂我也不管了。