如图已知抛物线y=ax 2 +bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．设抛物线的顶

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
把（0，3）代入，
解得a=-1，
解析式为y=-x ² +2x+3，
则点D的坐标为（1，4），

（2）设直线BC的解析式为y=kx+3，把B（3，0）代入，
解得k=-1，所以F（1，2），
∴DF=4-2=2，
△BCD的面积=
1
2 ×2×1+
1
2 ×2×2=3 ；

（3）①点C即在抛物线上，CD=
2 ，BC= 3
2 ， BD=2
5 ．
∵CD ² +BC ² =20，BD ² =20，
∴CD ² +BC ² =BD ² ，
∴∠BCD=90°，
这时Q与C点重合点Q坐标为Q（0，3），
②如图②，若∠DBQ为90°，作QP⊥x轴于P，DH⊥x轴于H
可证Rt△DHB ∽ Rt△BPQ，
有
DH
BP =
HB
PQ ，
则点Q坐标（k，-k ² +2k+3），
即
4
3-k =
2
k 2 -2k-3 ，
化简为2k ² -3k-9=0，
即（k-3）（2k+3）=0，
解之为k=3或 k=-
3
2 ，
由 k=-
3
2 得Q坐标： Q(-
3
2 ，-
9
4 ) ，
③若∠BDQ为90°，
如图③，延长DQ交y轴于M，
作DE⊥y轴于E，DH⊥x轴于H，
可证明△DEM ∽ △DHB，
即
DE
DH =
EM
HB ，
则
1
4 =
EM
2 ，
得 EM=
1
2 ，
∵点M的坐标为 (0，
7
2 ) ，DM所在的直线方程为 y=
1
2 x+
7
2 ，
则 y=
1
2 x+
7
2 与y=-x ² +2x+3的解为 x=
1
2 ，
得交点坐标Q为 (
1
2 ，
15
4 ) ，
即满足题意的Q点有三个，（0，3），（-
3
2 ，-
9
4 ），（
1
2 ，
15
4 ）．

1年前