已知向量u=（x，y）与向量v=（y，2y-x）的对应关系用v=f（u）表示．
已知向量
=（x，y）与向量
=（y，2y-x）的对应关系用
=f（
）表示．
（1）证明对任意的向量
、
及常数m、n，恒有f（m
+n
）=mf（
）+nf（
）成立；
（2）设
=（1，1），
=（1，0），求向量f（
）与f（
）的坐标；
（3）求使f（
）=（p，q）（p、q为常数）的向量
的坐标．
| u |
| v |
| v |
| u |
（1）证明对任意的向量
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）设
| a |
| b |
| a |
| b |
（3）求使f（
| c |
| c |
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（1）设
a=（x1，y1），
b=（x2，y2），
∴m
a+n
b=（mx1+nx2，my1+ny2），
f（m
a+n
b）=（my1+ny2，2（my1+ny2）-（mx1+nx2））．
又mf（
a）=m（y1，2y1-x1），nf（
b）=n（y2，2y2-x2），
∴mf（
a）+nf（
b）=（my1+ny2，（2y1-x1）m+（2y2-x2）n）
=（my1+ny2，2（my1+ny2）-（mx1+nx2））．
∴f（m
a+n
b）=mf（
a）+nf（
b）成立．
（2）
a=（1，1），∴f（
a）=（1，2×1-1）=（1，1）；
b=（1，0），∴f（
b）=（0，2×0-1）=（0，-1）．
（3）设
c=（x，y），∴f（
c）=（y，2y-x）．
∴（y，2y-x）=（p，q）．
∴
y＝p
2y−x＝q.
∴
c=（2p-q，p）．
a=（x1，y1），
b=（x2，y2），
∴m
a+n
b=（mx1+nx2，my1+ny2），
f（m
a+n
b）=（my1+ny2，2（my1+ny2）-（mx1+nx2））．
又mf（
a）=m（y1，2y1-x1），nf（
b）=n（y2，2y2-x2），
∴mf（
a）+nf（
b）=（my1+ny2，（2y1-x1）m+（2y2-x2）n）
=（my1+ny2，2（my1+ny2）-（mx1+nx2））．
∴f（m
a+n
b）=mf（
a）+nf（
b）成立．
（2）
a=（1，1），∴f（
a）=（1，2×1-1）=（1，1）；
b=（1，0），∴f（
b）=（0，2×0-1）=（0，-1）．
（3）设
c=（x，y），∴f（
c）=（y，2y-x）．
∴（y，2y-x）=（p，q）．
∴
y＝p
2y−x＝q.
∴
c=（2p-q，p）．
1年前
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