（2007•芜湖）一园林设计师要使用长度为4L的材料建造如图1所示的花圃，该花圃是由四个形状、大小完全一样的扇环面组成，

（2007•芜湖）一园林设计师要使用长度为4L的材料建造如图1所示的花圃，该花圃是由四个形状、大小完全一样的扇环面组成，每个扇环面如图2所示，它是以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过O点的两条直线段围成，为使得绿化效果最佳，还须使得扇环面积最大．
（1）求使图1花圃面积为最大时R-r的值及此时花圃面积，

其中R、r分别为大圆和小圆的半径；
（2）若L=160m，r=10m，求使图2面积为最大时的θ值．

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linxinlove 幼苗

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解题思路：（1）要求图1花圃面积，就要求出一个大扇形减一个小扇形的面积，然后再利用函数分析讨论最大值．
设图2扇环的圆心角为θ，面积为S，根据题意得：L=[θπR/180+

θπr

180]+2（R-r）=θ•

π(R+r)

180

+2（R-r）．求出θ，S的关系式．最后可求得S在R-r=[L/4]时为最大，最大值为

．
（2）把值代入上式计算即可．根据（1）可得当R-r=[L/4]时，S取值最大．把L的值代入可得解．

（1）若使形如图1花圃面积为最大，则必定要求图2扇环面积最大．
设图2扇环的圆心角为θ，面积为S，根据题意得：L=[θπR/180+
θπr
180]+2（R-r），（2分）
L=θ•
π(R+r)
180+2（R-r）
180L-360（R-r）=π（R+r）θ
∴θ=
180[L−2(R−r)]
π(R+r)．（3分）
∴S=
θπR2
360−
θπr2
360=[π/360•θ•(R2−r2)（4分）
=
π
360•
180[L−2(R−r)]
π(R+r)•(R2−r2)
=
1
2][L-2（R-r）]•（R-r）=-[（R-r）-[L/4]]²+
L2
16．（5分）
∵式中0＜R-r＜[L/2]，
∴S在R-r=[L/4]时为最大，最大值为
L2
16．（6分）
∴花圃面积最大时R-r的值为[L/4]，最大面积为
L2
16×4＝
L2
4．（7分）．

（2）∵当R-r=[L/4]时，S取值最大，
∴R-r=[L/4＝
160
4]=40（m），R=40+r=40+10=50（m）．（8分）
∴θ＝
180[L−2(R−r)]
π(R+r)=
180×(160−2×40)
π×60=[240/π]（度）．（10分）

点评：
本题考点：二次函数综合题；弧长的计算；扇形面积的计算．

考点点评：本题综合考查了扇形的面积计算和函数有关知识．

1年前

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