圆锥曲线（椭圆,双曲线,抛物线）部分的经典例题,

圆锥曲线焦点弦斜率公式及应用
周华生
本文介绍圆锥曲线标准方程的两个用定比表示的斜率公式及解题时的巧妙应用.
定理1 若AB是椭圆或双曲线或抛物线的焦点弦,F为焦点且,（A在B之上）,则弦AB所在直线斜率k满足
（1）
证明：设AB的倾角为.
（1）当时,l为F对应的准线,如图1对曲线：
所以,即.
（2）当时,如图2.
同样地有.
类似地可证明（1）对于也成立.
仿照定理1的证明方法可证得如下结论：
定理2 若AB为椭圆或双曲线或抛物线的焦点弦,F为焦点,且,（A在B之上）则弦AB所在直线斜率k满足
（2）
下面我们介绍公式（1）（2）的一些巧妙应用.
一、由定比求方程
例1.（2002年南昌高考模拟题）已知椭圆C的焦点为,到相应准线距离为,过且倾角为锐角的直线l与椭圆交于A、B,使.
（1）求椭圆方程；
（2）求直线l的方程.
（1）设椭圆为,所以,所以椭圆方程为.
（2）,代入（1）中得,因为,所以,AB方程为.
二、算定比求参数
例2.已知椭圆C的方程为,双曲线的两条渐近线为,过椭圆C的右焦点F作直线l,使,交点依次为A、B（如图3）,求的最大值及此时椭圆C的离心率e.
设F（c,0）,l方程为,代入：中得P：,故P在椭圆准线上,设,在（1）中以代入可化为,所以,设,且设化简为,因为,故有根的充要条件为
得
所以,此时.
三、由定比求参数
例3.设双曲线的右焦点为F,过F作倾角为的直线l与双曲线交于M、N两点,若,求双曲线离心率e.
1）当时,由（1）
.
2）当M、N位于不同支上,则M应在N之下且,取代入（1）中得,解得.
故所求双曲线离心率为.
例4.（2004年全国高考题）给定抛物线C：,F是C的焦点,过点F的直线l与C相交于A、B两点,设,若,求l在y轴上截距的变化范围.
设l在y轴上截距为t,则,以代（1）中,即,又因为且,所以,即,所以.
解得.
四、设定比求最值
例5.（2006年全国卷II题）已知抛物线的焦点为F,A、B是抛物线上两个动点,且,过A、B两点分别引抛物线的切线,设其交点为M.
（1）证明为定值；
（2）设的面积为S,写出的表达式,并求S的最小值.
分析：本题焦点F（0,1）在y轴上,应用（2）.
（1）由（2）得,所以,由于A、B关于y轴可对称处理,不妨先讨论,此时AB的方程是即
①
设M点坐标为,其对应的切点弦方程为
②
①、②重合,所以,解得,所以,所以.
所以为定值.
（2）由.
得.
所以.
又由可得
所以.
所以.
所以的最小值为4,此时.