（2013•房山区一模）已知函数f(x)＝12ax2−(a+1)x+lnx，g(x)＝x2−2bx+78．

解题思路：（Ⅰ）当a=0时求出f（x），f′（x），f（1），切线斜率k=f′（1），利用点斜式即可求得切线方程；
（Ⅱ）求出导数f′（x），分情况讨论：①a=0时，解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即得f（x）的单调区间；②a≠0时，解方程f′（x）=0得x=1或x=[1/a]，按照1与[1/a]的大小讨论，根据f′（x）的符号即可求得其单调区间；
（Ⅲ）当a＝

1

4

时，借助（Ⅱ）问单调性易求得M，存在x∈[1，2]，使g(x)≥−

9

8

，等价于g(x)max≥−

9

8

，由二次函数的性质可得不等式组，解出即可；

（Ⅰ）当a=0时，f（x）=-x+lnx，
f（1）=-1+ln1=-1，f′(x)＝−1+
1
x，f'（1）=0．
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程y=-1．
（Ⅱ）f′(x)＝ax−(a+1)+
1
x＝
ax2−(a+1)x+1
x＝
(ax−1)(x−1)
x(x＞0)，
①当a=0时，解f′(x)＝−
x−1
x＞0，得0＜x＜1，解f′(x)＝−
x−1
x＜0，得x＞1，
所以函数f（x）的递增区间为（0，1），递减区间为在（1，+∞）；
②a≠0时，令f'（x）=0得x=1或x＝
1
a，
i）当0＜a＜1时，[1/a＞1，当x变化时f（x）、f′（x）随x的变化情况如下表：

x （0，1）） 1 (1，
1
a)
1
a] (
1
a，+∞)
f′（x） + 0 - 0 +
f（x） 增 减 增函数f（x）的递增区间为（0，1），(
1
a，+∞)，递减区间为(1，
1
a)；
ii）当a＜0时，[1/a＜0，
在（0，1）上f'（x）＞0，在（1，+∞）上f'（x）＜0，
所以函数f（x）的递增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞）；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a＝
1
4]时，f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，2）上是减函数，
所以M＝f(1)＝−
9
8，
存在x∈[1，2]，使g(x)≥−
9
8，即存在x∈[1，2]，使x2−2bx+
7
8≥−
9
8，
只需函数g（x）在[1，2]上的最大值大于等于−
9
8，
所以有

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性、某点处切线方程、在闭区间上的最值等知识，考查分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，把存在性问题转化为最值问题是解决（Ⅲ）问的关键．