有其许 幼苗
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(Ⅰ)证明:∵AE⊥平面ABC,AE⊂平面AEC,
∴平面AEC⊥平面ABC,平面AEC∩平面ABC=AC,
BF⊂平面ABC,BF⊥AC,∴BF⊥平面AEC,DF⊂平面AEC,
∴BF⊥DF,
又∠ABC=3∠BAC=90°,∴BC=ACsin30°=4×[1/2]=2,BF⊥AC,
∴CF=BCcos60°=1=CD,CD∥AE,AE⊥平面ABC,
∴CD⊥平面ABC,∴CD⊥AC,∴∠DFC=45°,
AF=AC-CF=3=AE,∴∠EFA=45°,
∴∠EFD=90°,即DF⊥EF,
BF∩EF=F,BF、EF⊂平面BEF,∴DF⊥平面BEF,
∴DF⊥BE.
(Ⅱ)过F作Fz∥AE,由AE⊥平面ABC可知Fz⊥平面ABC,
又BF⊥AC,∴BF、AC、l两两垂直,
以F为原点,FA、FB、Fz依次为x、y、z轴建立空间直角坐标系(如图),
则F(0,0,0),B(0 ,
3 , 0),D(-1,0,1),E(3,0,3),
BD=(−1 , −
3 , 1),
BE=(3 , −
3 , 3),
FB=(0 ,
3 , 0),
由(Ⅰ)知
FB是平面DEF的一个法向量,设
n =(x ,y ,z)是平面BDE的一个法向量,
则
n •
BD=−x−
3y+z=0
n •
BE=3x−
3y+3z=0取z=2,得到
n =(−1 ,
3 , 2),
cos<
n,
FB>=
n •
FB
|
n |•|
FB|=
3
2
2•
3=
6
4,
∴二面角B-DE-F的平面角的余弦值为
6
4.
点评:
本题考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的性质.
考点点评: 本题主要考察线线垂直的证明以及二面角的求法.一般在证明线线垂直时,是转化为线面垂直来证.
1年前
(2012•漳州模拟)如图如果为12月22日光照图,完成下列要求
1年前1个回答
你能帮帮他们吗