已知函数f（x）=ax-lnx（a＞ 0)，g(x)= 8x x+2 ．

（I）证明：求导数可得f′（x）=a-
1
x （x＞0）
令f′（x）＞0，可得x＞
1
a ，令f′（x）＜0，可得0＜x＜
1
a
∴x=
1
a 时，函数取得最小值
∴f（x）≥f（
1
a ）=1+lna；
（II）g′（x）=
16
(x+2 ) 2 ＞0，∴函数g（x），当 x 1 ∈[
1
2 ，
2
3 ] 时，函数为增函数，∴g（x）∈[
8
5 ，2]
当
1
a ≥e 时，函数f（x）在 x 2 ∈[
1
e 2 ，e] 上单调减，∴f（x）∈[
a
e 2 +2 ，ae-1]
∴


a
e 2 +2≤
8
5
ae-1≥2 ，无解；
当
1
e 2 ＜
1
a ＜e 时，函数f（x）在 [
1
e 2 ，
1
a ] 上单调减，在 [
1
a ，e] 上单调增，f（
1
a ）=1+lna≤
8
5 ，∴a≤ e
3
5 ，∴
1
e ＜a≤ e
3
5
当
1
a ≤
1
e 2 时，函数f（x）在 x 2 ∈[
1
e 2 ，e] 上单调增，∴f（x）∈[
a
e 2 +2 ，ae-1]，∴


a
e 2 +2≥2
ae-1≤
8
5 ，无解
综上知，
1
e ＜a≤ e
3
5 ．