设f″（x）在[0．π]上连续，且f（0）=2，f（π）=1，求∫π0[f（x）+f″（x）]sinxdx．

因为
∫π0[f(x)+f″(x)]sinxdx=
∫π0f(x)sinxdx+
∫π0f″(x)sinxdx
又f″（x）在[0．π]上连续，且f（0）=2，f（π）=1，
所
∫π0f″(x)sinxdx
=
∫π0sinxdf′(x)
=f′(x)sin
x|π0−
∫π0f′(x)cosxdx
=-
∫π0cosxdf(x)
=-f（x）cos
x|π0−
∫π0f(x)sinxdx
=f（π）+f（0）-
∫π0f(x)sinxdx
=3-
∫π0f(x)sinxdx
所以
∫π0[f(x)+f″(x)]sinxdx=
∫π0f(x)sinxdx+3−
∫π0f(x)sinxdx＝3．

点评：
本题考点： 定积分的分部积分法．

考点点评： 本题主要考查定积分的分部积分法，本题属于基础题．