（2009•西城区二模）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=1，AA1=2，D是AA1的中点

解题思路：（Ⅰ）以B为原点，BC、BA、BB₁分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，再求得相关向量的坐标，最后利用夹角公式求解．
（Ⅱ）直三棱柱的结构特征，得到B₁B⊥BC，再由AB⊥BC，得到BC⊥平面ABB₁D．从而有BD⊥B₁D，所以BD是CD在平面ABB₁D内的射影，∠CDB为二面角C-B₁D-B的平面角．
（Ⅲ）由D为中点，则设E为B₁C的中点，G为BC的中点，有EG∥BB₁，再由EG＝

1

2

BB1，AD∥BB₁，且AD＝

1

2

BB1，得到四边形ADEG为平行四边形，从而有DE∥AG，从而有DE∥平面ABC结论．

（Ⅰ）如图，以B为原点，BC、BA、BB₁分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，
则B（0，0，0），C（1，0，0），A（0，1，0），
B₁（0，0，2），C₁（1，0，2），A₁（0，1，2），D（0，1，1），
∵

A1C1＝(1，−1，0)，

B1D＝(0，1，−1)，
∴cos＜

A1C1，

B1D＞＝


A1C1•

B1D
|

A1C1|•|

点评：
本题考点： 异面直线及其所成的角；平面与平面平行的性质；与二面角有关的立体几何综合题．

考点点评： 本题主要考查用向量法求线面角、二面角以及线线、线面与面面平行与垂直关系的转化，综合性较强．