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x−a |
meteorbird 幼苗
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(1)函数f(x)与g(x)在区间[a+2,a+3]上有意义,
必须满足
a+2−3a>0
a+2−a>0
0<a,a≠1⇒0<a<1
(2)假设存在实数a,使得函数f(x)与g(x)在区间[a+2,a+3]上是“友好”的,
则|f(x)-g(x)|=|loga(x2-4ax+3a2)|⇒|loga(x2-4ax+3a2)|≤1
即-1≤loga(x2-4ax+3a2)≤1(*)
因为a∈(0,1)⇒2a∈(0,2),而[a+2,a+3]在x=2a的右侧,
所以函数g(x)=loga(x2-4ax+3a2)在区间[a+2,a+3]上为减函数,从而
[g(x)]max=g(a+2)=loga(4−4a)
[g(x)]min=g(a+3)=loga(9−6a)
于是不等式(*)成立的充要条件是
loga(4−4a)≤1
loga(9−6a)≥−1
0<a<1⇒0<a≤
9−
57
12
因此,当0<a≤
9−
57
12时,函数f(x)与g(x)在区间[a+2,a+3]上是“友好”的;当1>a>
9−
57
12时,函数f(x)与g(x)在区间[a+2,a+3]上是不“友好”的.
点评:
本题考点: 函数单调性的判断与证明;必要条件、充分条件与充要条件的判断;函数的定义域及其求法.
考点点评: 本题主要考查了函数单调性的判断与证明,以及新定义的运用,属于中档题.
1年前
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