设矩阵A=3 -2-2 3求A^10-5A^9

这种N次方的题目就是考察把矩阵对角化
1.特征方程|A-LamdaE|=0,特征值=(1,5),特征值矩阵就是B=[(1,0),(0,5)].
2.相应的特征向量就是(A-LamdaE)x=0的解,求得特征向量(1,1)矩阵是E(1,-1),特征矩阵就是P=[(1,1),(1,-1)],容易求出它的逆是
P(-1)=0.5[(1,1),(1,-1)].
所以A=P(-1)*B*P
所以A^n=P(-1)*B^n*P=
[(1+5^n,1-5^n),(1-5^n,1+5^n)]
所以A^10-5A^9
=4[(5^9-1,1-5^9),(1-5^9,5^9-1)]
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补充一点:如果命题是求|A^10-5A^9|则更简单,因为|A|=1*5=5(特征值相乘),那么上式=0.