在一个等边三角形内画一个尽可能大的圆，又在这个圆内画一个尽可能大的等边三角形，图中小等边三角形的面积相当于大等边三角形面

解题思路：
如图所示，在等边三角形ABC内能画出的面积最大的圆是三角形ABC的内切圆O，设三个切点分别为D、E、F，则三角形DEF为圆O内面积最大的等边三角形，由等腰三角形的三线合一的性质可知，点D、E、F分别为三角形ABC三边的中点，即DE，DF，EF为三角形ABC的三条中位线，因为三角形的三条中位线把三角形分成四个面积相等的三角形，因而图中小等边三角形DEF的面积相当于大等边三角形面积的[1/4]．

如图所示：

作图步骤：
1、作等边三角形ABC，
2、分别作三个内角的平分线AE，CD，BF相交于点O，
3、以点O为圆心，OE长为半径作圆O，则圆O即三角形ABC内面积最大的圆--内切圆，
4，连接DE，EF，DF，则三角形DEF即圆O的内接等边三角形，也就是圆O内面积最大的三角形．
由等腰三角形三线合一的性质可知，点D，E，F分别为三角形ABC三边的中点，因而DE，DF，EF为三角形ABC的三条中位线，因为三角形的三条中位线把三角形分成四个面积相等的三角形，因而图中小等边三角形DEF的面积相当于大等边三角形面积的[1/4]．
故答案为：[1/4]．

点评：
本题考点： 等腰三角形与等边三角形；三角形的周长和面积；圆、圆环的面积．

考点点评： 本题较为复杂，若想要严格的证明，需用到初中阶段的相似三角形的性质，或特殊角的三角函数及勾股定理．