已知点P是射线y=2（x＞1）上一点．过P作直线MN，交抛物线y2=4x于M，N两点，使点P平分线段MN．

解题思路：（I）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则

y

2 1

＝4x1，

y

2 2

＝4x2，两式相减再利用斜率计算公式、中点坐标公式即可得出．
（II）把直线方程y=x+m与抛物线方程联立可得x²+（2m-4）x+m²=0，由于直线l：y=x+m与抛物线y²=4x无公共点，可得△＜0，解得m＞1．
设直线CD的方程为：y=x+t（t＜1），与抛物线方程可得根与系数的关系，再利用弦长公式可得|CD|=

(1+12)[(x1+x2)2−4x1x2]

．直线l与CD之间的距离d=

|m−t|

2

=

m−t

2

．可得m＝8

1−t

+t（t＜1）．通过求导即可得出其最大值．

（I）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则
y21＝4x1，
y22＝4x2，
两式相减得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
∵y₁+y₂=2×2=4，kMN＝
y1−y2
x1−x2，
∴4k_MN=4，∴k_MN=1．
（II）联立

y＝x+m
y2＝4x，化为x²+（2m-4）x+m²=0，
∵直线l：y=x+m与抛物线y²=4x无公共点，
∴△=（2m-4）²-4m²＜0，解得m＞1．
设直线CD的方程为：y=x+t（t＜1），
联立

y＝x+t
y2＝4x，化为x²+（2t-4）x+t²=0，
则x₁+x₂=4-2t，x₁x₂=t²．
∴|CD|=
(1+12)[(x1+x2)2−4x1x2]=

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．

考点点评： 本题综合考查了直线与抛物线的位置关系、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、中点坐标公式、点到直线的距离公式、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．