设函数f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a＞0

解题思路：（I）先对函数进行求导，根据导函数大于0原函数单调递增，导函数小于0原函数单调递减可得答案；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）的最小值为g(a)=f(

1

a

)=1-(a+1)ln(

1

a

+1)，a＞0，构造函数设φ(x)=ln(x+1)-

x

x+1

，x∈（0，+∞），利用导数研究函数的单调性和最值，即可证明结论．

（Ⅰ）由已知可得函数f（x）的定义域为（-1，+∞），
而f′(x)=
a(x-
1
a)
x+1，
∵a＞0，x＞-1，∴当-1＜x＜
1
a时，f'（x）＜0，
当x＞
1
a时，f'（x）＞0，
∴函数f（x）的单调递减区间是(-1，
1
a)，单调递增区间是(
1
a，+∞)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）的最小值
为g(a)=f(
1
a)=1-(a+1)ln(
1
a+1)，a＞0．
要证明-
1
a＜g(a)＜0，
只须证明[1/a+1＜ln(
1
a+1)＜
1
a]成立．
设φ(x)=ln(x+1)-
x
x+1，x∈（0，+∞）．
则φ′(x)=
1
x+1-
1
(1+x)2=
x
(1+x)2＞0，
∴φ（x）在区间（0，+∞）上是增函数，∴φ（x）＞φ（0）=0，即ln(x+1)＞
x
x+1．
取x=
1
a得到[1/a+1＜ln(
1
a+1)成立．
设ψ（x）=ln（x+1）-x，x∈（0，+∞），同理可证ln（x+1）＜x．
取x=
1
a]得到ln(
1
a+1)＜
1
a成立．因此，-
1
a＜g(a)＜0．

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题综合性较强，主要考查利用导数研究函数的单调性，以此为主线，贯穿其中．但对以上第二个问题的解答，关键是构造函数，这是函数这一章节的重点和难点，属难题．