已知函数f(x)＝(a−12)x2+Inx(a∈R)

解题思路：（1）当a=0时，求函数f（x）的定义域，求出函数的导数，利用导数大于0，即可得到单调递增区间；
（2）若∃x∈[1，3]，使f（x）＜（x+1）Inx成立，就出a的不等式，构造函数求出导数，得到函数的最小值，即可求实数a的取值范围；
（3）若函数f（x）的图象在区间（1，+∞）内恒在直线y=2ax下方，构造函数g(x)＝f(x)−2ax＝(a−

1

2

)x2−2ax+lnx，通过导数对a进行讨论，当a∈[−

1

2

，[1/2]]时，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方．

显然函数f（x）的定义域为（0，+∞），
（1）当a=0时，f(x)＝−
1
2x2+lnx，f′(x)＝−x+
1
x＝
−x2+1
x；
由f'（x）＞0，结合定义域解得0＜x＜1，
∴f（x）的单调递增区间为（0，1）．
（2）将f（x）＜（x+1）lnx化简得(a−
1
2)x2＜xlnx，∵x∈[1，3]∴有a＜
lnx
x+
1
2
令g(x)＝
lnx
x+
1
2，则g/(x)＝
1−lnx
x2，由g′（x）=0解得x=e．
当1≤x＜e时，g′（x）＞0；当e＜x≤3时，g′（x）＜0
故g(x)max＝g(e)＝
1
e+
1
2
∴∃x∈[1，3]，使f（x）＜（x+1）lnx成立等价于a＜g(x)max＝g(e)＝
1
e+
1
2
即a的取值范围为(−∞，
1
e+
1
2)
（3）令g(x)＝f(x)−2ax＝(a−
1
2)x2−2ax+lnx，则g（x）的定义域为（0，+∞）．
在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方等价于g（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立．
∵g′(x)＝(2a−1)x−2a+
1
x＝
(2a−1)x2−2ax+1
x＝
(x−1)[(2a−1)x−1]
x
①若a＞
1
2，令g'（x）=0，得极值点x₁=1，x2＝
1
2a−1，
当x₂＞x₁=1，即[1/2＜a＜1时，在（x₂，+∞）上有g'（x）＞0，
此时g（x）在区间（x₂，+∞）上是增函数，并且在该区间上有g（x）∈（g（x₂），+∞），不合题意；
当x₂＜x₁=1，即a≥1时，同理可知，g（x）在区间（1，+∞）上，有g（x）∈（g（1），+∞），也不合题意；
②若a≤
1
2]，则有2a-1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有g'（x）＜0，
从而g（x）在区间（1，+∞）上是减函数；
要使g（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足g(1)＝−a−
1
2≤0⇒a≥−
1
2，
由此求得a的范围是[−
1
2，[1/2]]．
综合①②可知，当a∈[−
1
2，[1/2]]时，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查函数的导数的应用，构造法的应用，考查转化思想，函数与方程的思想，高考的压轴题．