在平面直角坐标系中,M、N分别为椭圆x^2/4+y^2/2=1的顶点,过坐标系原点作直线分别交于P、A两点,其中P在第一
在平面直角坐标系中,M、N分别为椭圆x^2/4+y^2/2=1的顶点,过坐标系原点作直线分别交于P、A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆与点B,设直线PA的斜率为k.（A在y轴左侧,P,B,C在y轴右侧）
（1）当直线PA平分线段MN时,求k的值.
（2）对任意k>0,求证：PA垂直于PB.
（1）当直线PA平分线段MN时,求k的值.
（2）对任意k>0,求证：PA垂直于PB.
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(1)有题知M（-2,0）,N（0,-√2）∴MN中点坐标
（-1,-√2／2）,PA此时过点（0,0）,（-1,-√2／2）,
∴K=（-√2／2）／（-1）=√2／2.
（2）K=2时,设P（m,2m）代入椭圆方程x²／4+y²／2=1,
解得m=2／3,即P（2／3,4／3）,则C（2／3,0）.过A作AD垂直于x轴于D,易得|CD|=|OC|+|OD|=4∕3=|DA|,故∠ACD=45°,则∠PCB=45°从此可得P到AB的距离d=√2／2×|PC|=2√2∕3.
（3）设点P(x1,y1),点B（x2,y2）,则直线AP斜率
K=[y1-﹙-y1﹚]／[x1-﹙-x1﹚]=y1／x1.
AC斜率=AB斜率=[0-﹙-y1﹚]／[x1-﹙-x1﹚]
=0.5K,PB斜率×AP斜率=PB斜率×2×AB斜率
=﹙y2-y1﹚／﹙x2-x1﹚×2×[y2-﹙-y1﹚]／[x2-﹙-x1﹚]
=[﹙2y2﹚²-﹙2y1﹚²]／[﹙x2﹚²-﹙x1﹚²]
=﹛[4-（x2）²]-[4-（x1）²]﹜／[﹙x2﹚²-﹙x1﹚²]=-1.
故K﹥0时AP⊥BP成立.
说明：这道题一般卷子给的答案,先设直线方程,代入椭圆方程,求点坐标,用斜率公式及其它定理,太耗精力.这里就是抓住等腰直角三角形的斜边与直角边的关系,抓住中心对称点的坐标关系,巧妙解题.真是无巧不成书呀!平面几何和解析几何同属几何,所以圆锥曲线解题一定要把平面几何知识发扬光大,特别那些直观明了的东西.
（-1,-√2／2）,PA此时过点（0,0）,（-1,-√2／2）,
∴K=（-√2／2）／（-1）=√2／2.
（2）K=2时,设P（m,2m）代入椭圆方程x²／4+y²／2=1,
解得m=2／3,即P（2／3,4／3）,则C（2／3,0）.过A作AD垂直于x轴于D,易得|CD|=|OC|+|OD|=4∕3=|DA|,故∠ACD=45°,则∠PCB=45°从此可得P到AB的距离d=√2／2×|PC|=2√2∕3.
（3）设点P(x1,y1),点B（x2,y2）,则直线AP斜率
K=[y1-﹙-y1﹚]／[x1-﹙-x1﹚]=y1／x1.
AC斜率=AB斜率=[0-﹙-y1﹚]／[x1-﹙-x1﹚]
=0.5K,PB斜率×AP斜率=PB斜率×2×AB斜率
=﹙y2-y1﹚／﹙x2-x1﹚×2×[y2-﹙-y1﹚]／[x2-﹙-x1﹚]
=[﹙2y2﹚²-﹙2y1﹚²]／[﹙x2﹚²-﹙x1﹚²]
=﹛[4-（x2）²]-[4-（x1）²]﹜／[﹙x2﹚²-﹙x1﹚²]=-1.
故K﹥0时AP⊥BP成立.
说明：这道题一般卷子给的答案,先设直线方程,代入椭圆方程,求点坐标,用斜率公式及其它定理,太耗精力.这里就是抓住等腰直角三角形的斜边与直角边的关系,抓住中心对称点的坐标关系,巧妙解题.真是无巧不成书呀!平面几何和解析几何同属几何,所以圆锥曲线解题一定要把平面几何知识发扬光大,特别那些直观明了的东西.
1年前
9
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