二元函数的二阶偏微分有三个,两个分别对x和y,一个是混合偏导,求他们为什么是按照B^2-AC来判断极值

二元函数的二阶偏微分有三个,两个分别对x和y,一个是混合偏导,求他们为什么是按照B^2-AC来判断极值
书上写到关于二元函数求极值的充分条件里写到：设A=f"xx(x,y),B=f"xy(x,y),C=f"yy(x,y),判断B^2-AC看极值,那么为什么会这样写的?二阶偏导数有什么明显的几何意义吗?

sheirly_ren 1年前已收到1个回答举报

nicaijml 幼苗

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这是证明出来的,对于多元函数,在某点出一阶偏导为零,只要看黑塞矩阵的正定或负定性.
对于二元函数黑塞矩阵为
A B
B C
正定的充分条件是A>0且AC-B^2>0；
负定的充分条件是A0；
若AC-B^2>0,则矩阵不定.
矩阵正定,该点为极小值；
矩阵负定,该点为极大值.
二阶偏导没有明显几何意义.

1年前

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