在正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，M，N分别是棱AB，BC上异于端点的点，

（1）用反证法．如果△B ₁ MN是直角三角形，
不妨设 ∠ B 1 MN=
π
2 ，则MN⊥B ₁ M，（1分）
而B ₁ B⊥面ABCD，MN⊂面ABCD，∴B ₁ B⊥MN，B ₁ B∩B ₁ M=B ₁ ，∴MN⊥面ABB ₁ A ₁ ，∵AB⊂面ABB ₁ A ₁ ，（2分）∴MN⊥AB，即 ∠BMN=
π
2 ，与 ∠MBN=
π
2 矛盾！（3分）∴△B ₁ MN不可能是直角三角形．（4分）
（2）连接MN，设MN∩BD=Q则MN ∥ AC（5分）
∴AC⊥BD，MN⊥BD（7分）
又∵DD ₁ ⊥面ABCD∴DD ₁ ⊥MN
∴平面B ₁ MN⊥面BDD ₁ （9分）
（3）连接PM，PN则面PMN∩面BDD ₁ =PQ（10分）
当BD ₁ ∥ PQ时，BD ₁ ∥ 面PMN（11分）
又M，N分别是AB，BC中点
BQ
QD =
1
3 ；
D 1 P
PD =
BQ
QD =
1
3 ．