已知：如图1，抛物线经过点O、A、B三点，四边形OABC是直角梯形，其中点A在x轴上，点C在y轴上，BC ∥ OA，A（

（1）∵抛物线经过点A（12，0）、B（4，8）和原点O，
∴设抛物线解析式为y=ax ² +bx（a≠0），
则

144a+12b=0
16a+4b=8 ，
解得

a=-
1
4
b=3 ，
∴抛物线所对应的函数关系式为y=-
1
4 x ² +3x；

（2）∵A（12，0），B（4，8），BC ∥ OA，
∴OA=12，BC=4，OC=8，∠OAB=45°，
∴梯形OABC的面积=
1
2 ×（4+12）×8=64，
∵AD是OA的中点，
∴OD=AD=
1
2 OA=
1
2 ×12=6，
∵线段PD将梯形OABC的面积分成1：3两部分，
∴分成两部分的面积分别为64×
1
1+3 =16，
64×
3
1+3 =48，
如图1，△ADP的面积是16时，过点P作PE⊥x轴于E，
∵AP=t，
∴PE=

2
2 t，
∴
1
2 ×6×

2
2 t=16，
解得t=
16
2
3 ，
∴PE=
16
2
3 ×

2
2 =
16
3 ，
OE=12-
16
2
3 ×

2
2 =
20
3 ，
∴点P（
20
3 ，
16
3 ），
△PDO的面积是16时，
1
2 ×6•OP=16，
解得OP=
16
3 ，
∵AB=
8 2 +(12-4) 2 =8
2 ，
∴t=（AB+BC+OC-OP）÷1=8
2 +4+8-
16
3 =8
2 +
20
3 ，
此时，点P（0，
16
3 ），
综上所述，
16
2
3 秒或8
2 +
20
3 秒钟后线段PD将梯形OABC的面积分成1：3两部分，
此时P点的坐标为（
20
3 ，
16
3 ）或（0，
16
3 ）；

（3）在Rt△OBC中，由勾股定理得，OB=
OC 2 +BC 2 =
8 2 +4 2 =4
5 ，
∵∠OAB=45°，∠BOQ=45°，
∴∠OAB=∠BOQ，
又∵∠ABO=∠OBN，
∴△AOB ∽ △ONB，
∴
ON
AO =
OB
AB ，
即
ON
12 =
4
5
8
2 ，
解得ON=3
10 ，
如图2，连接BM，∵∠BOQ=45°，OB是⊙O′的直径，
∴△OBM是等腰直角三角形，
∴OM=

2
2 OB=

2
2 ×4
5 =2
10 ，
∴MN=ON-OM=3
10 -2
10 =
10 ．