在正方形ABCD中,BE⊥AP,EF=AE,BF=BC,∠CBF的角平分线交AF于G,(1)证BG+DG=根号下2AG

1、P点是AF和BC的交点吧?你这里多了一个条件,（BF=BC条件可以不要）
连结BD,
∵BF=BC,AB=BC,
∴AB=BF,
∴〈BAE=〈BFE,
〈EBG=〈EBP+〈PBG,
〈BGE=〈GBF+〈BFE,（三角形外角等于不相邻两内角之和）,
∵〈BEP=90°,（已知）,
∴〈EBP=90°-〈BPE,
∵〈BAE=90°-〈EBP,
∴〈PBE=〈BAE=〈BFE,
∴EBG=〈EGB,
∴△BEG是等腰RT△,
∴BG=√2EG,
∵〈ADB=45°,〈AGB=45°,
∴A、D、G、B四点共圆,（两同底同侧的三角形若顶角相等则四点共圆）.
∴〈DAB+〈DGB=180°,（圆内接四边形对角互补）,
∵〈DAB=90°,
∴〈DGB=90°,
∵〈ABG=〈ABD+〈DBE=45°+〈DBE,
〈DBG=〈EBG+〈DBE=45°+〈DBE,
∴〈ABE=〈DBG,
∴RT△ABE∽RT△DBG,
∴DG/AE=DB/AB=√2,
∴DG=√2AE,
∴DG+BG=√2AE+√2EG=√2AG,证毕.
2、延长BG与CF相交于H,
∵BC=BF,BG是〈CBF的平分线,
∴根据等腰△三线合一性质,BH是△BCF的中线和高,
∵P是BC中点,
∴FP也是中线,
∴G是△BCF的重心,
〈HGF=〈BGE=45°,（对顶角相等）,
〈GHF=90°,
∴△GHF是等腰RT△,
∴GH=HF,
设HF=x,
根据重心性质,BG=2GH=2x,
BF=AB=2,BH=BG+GH=2x+x=3x,
根据勾股定理,
BH^2+HF^2=BF^2,
(3x)^2+x^2=2^2,
10x^2=4,
x=√10/5,
∴CF=2HF=2√10/5.
正上传图,稍等.

(1)证明：连CG,因为BA=BF,∴∠BAF=∠BFABF=BC

∴∠BCG=∠BFGBG=BG

∴△BCG≅△BFG∴GC=GF∠BCG=∠BFG

∴∠GCB=∠GFB=∠BFA

∴∠GCB=∠BAF=∠BAP又∠CPG=∠APB

∴△CPG∼△ ABP∴∠CGP=∠ABP=90°

则△GCF是等腰直角三角形，因为∠ABC=∠AGC=90° ∴ACGB四点共圆∴∠AGB=∠ACB=45°

因为∠ADC+∠AGC=180° ∴ADCG四点共圆∴∠AGD=∠ACD=45°

作AH⊥AG交GD延长线于H,则△AHG为等腰直角三角形

HG=DH+DG=√(2)AG

∠HAD=∠GAB(同为∠DAG的余角)∠AHD=∠AGB=45°

AD=AB∴△AHD≅△AGB∴DH=BG

∴BG+DG=√(2)AG

(2)AP=√((2^2)+(1^2))=√(5)

因为△CPG∼△ABP

∴AB/CG=AP/PC则2/CG=√(5)/1

∴CG=2/√(5)∴CF=√(2)CG=2√(10)/5