做一个底为正方形,容量为108的长方体开口容器,怎样设计所用的材料最省?

设底边长度为X,高度为h,
则:X*X*h=108
即:h=108/X^2
用料总面积S=X*X+4*X*h
=X^2+4*X*108/X^2
=X^2+432/X
对上方程求极值得:当X=6时,有极小值S=108
有:h=108/6^2
=3
验算X-S值:
X=5.9999, S=108.00000003
X=6.0000, S=108.00000000
X=6.0001, S=108.00000003
即:底边长度为6,高为3时,用料面积是108也是最省料的.
(该题目出得有趣也实用.
如果把题目的“正方形”改为“圆形”,则计算结果为：
圆形直径=6.5031128416691,高=3.25155642083455.
变换不同容积作验算,其实可得出如下推理：
推理1：固定容积且底为正方形的长方体开口容器,正方形的边长为高的2倍时,容器的表面积最小；
推理2：固定容积且底为圆形的圆柱体开口容器,底圆的直径为高的2倍时,容器的表面积最小；）