设a=x^2-x+1,b=x^2-2x,c=2x-1,若abc分别为△ABC的相应三边长 求 设△ABC的外接圆半径为R

【这是一道对数学能力要求较高的一道题目】
答案：R/r≥(6+4√3)/3,且仅当x=2+√3时取等号
储备知识：
1）正弦定理：三角形ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边
则a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R （R为△ABC外切圆半径）
2）S△ABC=½ab•sinC（三角形面积=½•两边及其夹角的正弦）
3）计算三角形面积的一个重要公式：海伦公式
海伦公式：△ABC中,设其三边为a,b,c,则p=(a+b+c)/2（p也就是半周长）
那么S△ABC=√【p(p-a)(p-b)(p-c)】
这个公式经常是在已知三角形三边时使用
4）基本不等式：当a＞0,b＞0时,a+b≥2√(ab),仅当a=b时取等号
由正弦定理c/sinC=2R,可得sinC=c/2R
再代入S△ABC=½ab•sinC,可知S=(½abc)/2R,
即 R=abc/4S
设△ABC中内心为O,可知S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO
即 S=½•c•r+½•a•r+½•b•r=½(a+b+c)r
所以 r=2S/(a+b+c)
所以R/r=【abc/4S】/【2S/(a+b+c)】
=abc(a+b+c)/8S²
由海伦公式：S =√【p(p-a)(p-b)(p-c)】,把p=(a+b+c)/2代入
得 S=√【[(a+b+c)/2] [(b+c-a)/2] [(a+c-b)/2] [(a+b-c)/2]】
√【(a+b+c)(b+c-a)](a+c-b)(a+b-c)】/4
所以S²=(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)/16
8S²=(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)/2
所以R/r=2abc/(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)
把a=x²-x+1,b=x²-2x=x(x-2),c=2x-1代入
得 b+c-a=(x²-2x)+(2x-1)-(x²-x+1) = x-2
a+c-b=(x²-x+1)+(2x-1)-(x²-2x) = 3x
a+b-c= (x²-x+1)+ (x²-2x)-(2x-1)=2x²-5x+2 = (2x-1)(x-2)
所以R/r=【2(x²-x+1) [x(x-2)](2x-1)】/ 【(x-2)(3x)[(2x-1)(x-2)]】
=(2/3)【(x²-x+1)/(x-2)】
现只需考察A=(x²-x+1)/(x-2)的大小,
再利用三角形两边之和大于第三边,求出x的范围
①b+c＞a,即b+c-a＞0,x-2＞0,解得x＞2
②a+c＞b,即a+c-b＞0,3x＞0,解得x＞0
③a+b＞c,即a+b-c＞0,(2x-1)(x-2)＞0,解得x＜1/2或x＞2
综上所述,x的取值范围是x＞2
设x-2=k,则k＞0,x=k+2
所以A=(x²-x+1)/(x-2)
=[(k+2)²-(k+2)+1]/k
=(k²+3k+3)/k
=k+3+(3/k)
因为k＞0,3/k＞0
所以 A=[k+(3/k)]+3
≥2√[k•(3/k)]+3
=3+2√3 【仅当k=3/k,即k=√3时取等号,此时x=2+k=2+√3】
所以R/r=(2/3)A
≥(6+4√3)/3,且仅当x=2+√3时取等号