设f(x)＝1+ax1−ax，a＞0且a≠1），g（x）是f（x）的反函数．

n

k＝2

g(k)

n

k＝2

g(k)＞

2−n−n2

2n(n+1)

n

k＝1

f(k)−n

（1）由题意，得a^x=[y−1/y+1]＞0
故g（x）=loga
x−1
x+1，x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）
由loga
t
(x2−1)(7−x)＝loga
x−1
x+1得t=（x-1）²（7-x），x∈[2，6]
则t′=-3x²+18x-15=-3（x-1）（x-5）
列表如下：

x 2（2，5） 5（5，6）6
t' + -
t 5 递增
极大值32 递减25 所以t_最小值=5，t_最大值=32
所以t的取值范围为[5，32]（5分）

（Ⅱ）
n

k＝2g(k)＝ln
1
3+ln
2
4+ln
3
5+…+ln
n−1
n+1
=ln（[1/3×
2
4×
3
5×…×
n−1
n+1]）
=-ln
n(n+1)
2
令u（z）=-lnz²-
1−z2
z=-2lnz+z-[1/z]，z＞0
则u′（z）=-[2/z+1+
1
z2]=（1-[1/z]）²≥0
所以u（z）在（0，+∞）上是增函数
又因为

n(n+1)
2＞1＞0，所以u（

n(n+1)
2）＞u（1）=0
即ln
2
n(n+1)−
1−
n(n+1)
2


n(n+1)
2＞0
即
n

k＝2g(k)＞
2−n−n2

2n(n+1)（9分）

（3）设a=[1/1+p]，则p≥1，1＜f（1）=[1+a/1−a＝1+
2
p]≤3，
当n=1时，|f（1）-1|=[2/p]≤2＜4，
当n≥2时，
设k≥2，k∈N^*时，则f（k）=
(1+p)k+1
(1+p)k−1＝1+
2
(1+p)k−1，
=1+[2

C1kp+
C2kp2++
Ckkpk
所以1＜f（k）≤1+
2

C1k+
C2k＝1+
4
k(k+1)＝1+
4/k−
4
k+1]，
从而n-1＜
n

k＝2f(k)≤n-1+[4/2−
4
n+1]=n+1-[4/n+1]＜n+1，
所以n＜
n

k＝1f(k)＜f（1）+n+1≤n+4，
综上所述，总有|
n

k＝1f(k)-n|＜4．

点评：
本题考点： 反函数；函数与方程的综合运用；利用导数研究函数的极值；不等式．

考点点评： 本小题考查函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，考查化归、分类整合等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力．