设函数f（x）=（1+x）2-2ln（1+x）．

解题思路：（1）先求出函数的导数，从而求出单调区间，（2）引进新函数g（x）由题意得出方程组，从而求出a的范围．

（1）函数的定义域为（-1，+∞），
∵f（x）=（1+x）²-2ln（1+x），
∴f′（x）=2（x+1-[1/x+1]），
由f′（x）＞0，得x＞0；
由f′（x）＜0，得-1＜x＜0，
∴f（x）的递增区间是（0，+∞），递减区间是（-1，0）．
（2）方程f（x）=x²+x+a，
即x-a+1-2ln（1+x）=0，
记g（x）=x-a+1-2ln（1+x）（x＞-1），
则g′（x）=1-[2/1+x]=[x−1/x+1]，
由g′（x）＞0，得x＞1；由g′（x）＜0，得-1＜x＜1．
所以g（x）在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增．
为使f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰有两个相异的实根，
只须g（x）=0在[0，1）和（1，2]上各有一个实根，
于是有

g(0)≥0
g(1)＜0
g(2)≥0，即

−a+1≥0
2−a−2ln2＜0
3−a−2ln3≥0，
解得2-2ln 2＜a≤3-2ln 3，
故实数a的取值范围是（2-2ln 2，3-2ln 3]．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系．

考点点评： 本题考察了函数的单调性，函数的零点与方程的根的关系，导数的应用，是一道综合题．

1.f(x)=(1+x)^2-2ln(1+x)
ln(1+x) 1+x>0,x>-1
2.x=(-1+-(1-4a)^(1/2))/2
x 有两个相异的实根 ==>
(1-4a)> =0
a< = 1/4

第二问设一个函数g（X)=f(x)-x^2-x,再设个直线y=a,要求两个相异的根就是求g(x)和y的交点有两个之间的范围,g(x)=(1+x)^2-2ln(1+x)-x^2-x,那么g(x)单增区间是【1，2】，单减区间【0，1】，可以得出g(0)=1,g(1)=2-2ln2,g(2)=3-2ln3,根据直线和曲线的交点可以得出a的范围为[2-2ln2,1]或者[2-2ln2,3-2ln3]...

这玩意好多年没玩过了