椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两个焦点F1（-c，0）、F2（c，0），M是椭圆C上一点，且满足∠F1M

解题思路：（1）在△MF1F2中，根据余弦定理得4a2-3MF1•MF2=4c2，则3MF1•MF2=4a2-4c2结合基本不等式即可求得，当且仅当MF1=MF2=a时，a2≤4c2从而求椭圆的离心率e的取值范围．（2）令OP=m，结合椭圆的定义由余弦定理可得（PF1-PF2）2=4（m2+c2-a2），得到t=2m2+c2-a2m=21-a2-c2m2最后利用放缩法即可求得t的取值范围是．

（1）在△MF₁F₂中，MF₁²+MF₂²-2MF₁•MF₂cos∠F₁MF₂=4c²
即：（MF₁+MF₂）²-3MF₁•MF₂=4c²
即：4a²-3MF₁•MF₂=4c²，则3MF₁•MF₂=4a²-4c²MF1•MF2≤(
MF1+MF2
2)2=a2，当且仅当MF₁=MF₂=a时，取等号
∴4a²-4c²≤3a²，即a²≤4c²
∴e2≥
1
4即e∈[
1
2，1)（5分）
（2）令OP=m，则m∈[b，a]（10分）
又PF₁+PF₂=2a
在三角形O与三角形O中分别用余弦定理表示出PF₁²与PF₂²两式相加可得：PF₁²+PF₂²=2m²+2c²
则（PF₁-PF₂）²=4（m²+c²-a²）
∴t=
2
m2+c2-a2
m=2
1-
a2-c2
m2
∵m∈[b，a]，∴
a2-c2
a2≤
a2-c2
m2≤
a2-c2
b2
即0≤1-
a2-c2
m2≤
c2
a2，
∴t的取值范围是0≤t≤
2c
a．（16分）

点评：
本题考点： 椭圆的简单性质．

考点点评： 本小题主要考查椭圆的简单性质、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．