古韵2008 幼苗
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(1)f′(x)=3x2-a,
过点A(1,0)作曲线C的切线,设切点(x0,f(x0)),则切线方程为:y=(3x02-a)(x-1)
将(x0,f(x0))代入得:f(x0)=(3x02-a)(x0-1)=x03-ax0+b
即2x03-3x02+a-b=0(*)由条件切线恰有两条,方程(*)恰有两根.
令u(x)=2x3-3x2+a-b,u′(x)=6x2-6x=6x(x-1),显然有两个极值点x=0与x=1,
于是u(0)=0或u(1)=0
当u(0)=0时,a=b;
当u(1)=0时,a-b=1,此时f(x)=x3-ax+a-1=(x-1)(x2+x+1-a)经过(1,0)与条件不符
所以a=b
(2)因为存在x0∈R+,使f(x0)>x0•ex0+a,即x03−ax0+a>x0•ex0+a
所以存在x0∈R+,使x03−ax0>x0•ex0,得x02−a>ex0,即a<x02−ex0成立
设g(x)=x2-ex(x>0),问题转化为a<g(x)的最大值
g′(x)=2x-ex,
g′′(x)=2-ex,令g′′(x)=0得x=ln2,
当x∈(0,ln2)时g′′(x)>0此时g′(x)为增函数,当x∈(ln2,+∞)时g′′(x)<0,此时g′(x)为减函数,
所以g′(x)的最大值为g′(ln2)=2ln2-eln2=2ln2-2=2(ln2-1)
∵ln2<1,∴g′(x)的最大值g′(ln2)<0,得g′(x)<0
所以g(x)在(0,+∞)上单调递减,g(x)<g(0)=-1
因此a≤-1.
点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.
考点点评: 求曲线的切线问题常利用导数的几何意义:在切点处的导数值为曲线的切线斜率;解决不等式恒成立问题常采用分离参数转化为求函数的最值.
1年前
(2009•温州二模)已知曲线C:f(x)=x3-ax+a,
1年前1个回答
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1年前3个回答
质点作曲线运动时,加速度的方向总是指向曲线凹的一侧,为什么?
1年前3个回答
你能帮帮他们吗