如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（-3，4），点C在x轴的正半轴上，直线A

（1）过点A作AE⊥x轴垂足为E，如图（1）
∵A（-3，4），
∴AE=4OE=3，
∴OA=
AE 2 + OE 2 =5，
∵四边形ABCO为菱形，
∴OC=CB=BA=0A=5，
∴C（5，0）（1分）
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
∵

5k+b=0
-3k+b=4 ，
∴

k=-
1
2
b=
5
2 ，
∴直线AC的解析式为y=-
1
2 x+
5
2 ．（1分）

（2）由（1）得M点坐标为（0，
5
2 ），
∴OM=
5
2 ，
如图（1），当P点在AB边上运动时
由题意得OH=4，
∴HM=OH-OM=4-
5
2 =
3
2 ，
∴s=
1
2 BP•MH=
1
2 （5-2t）•
3
2 ，
∴s=-
3
2 t+
15
4 （0≤t＜
5
2 ），2分
当P点在BC边上运动时，记为P ₁ ，
∵∠OCM=∠BCM，CO=CB，CM=CM，
∴△OMC≌△BMC，
∴OM=BM=
5
2 ，∠MOC=∠MBC=90°，
∴S=
1
2 P ₁ B•BM=
1
2 （2t-5）
5
2 ，
∴S=
5
2 t-
25
4 （
5
2 ＜t≤5），2分

（3）设OP与AC相交于点Q连接OB交AC于点K，
∵∠AOC=∠ABC，
∴∠AOM=∠ABM，
∵∠MPB+∠BCO=90°，∠BAO=∠BCO，∠BAO+∠AOH=90°，
∴∠MPB=∠AOH，
∴∠MPB=∠MBH．
当P点在AB边上运动时，如图（2）
∵∠MPB=∠MBH，
∴PM=BM，
∵MH⊥PB，
∴PH=HB=2，
∴PA=AH-PH=1，
∴t=
1
2 ，（1分）
∵AB ∥ OC，
∴∠PAQ=∠OCQ，
∵∠AQP=∠CQO，
∴△AQP ∽ △CQO，
∴
AQ
CQ =
AP
CO =
1
5 ，
在Rt△AEC中，AC=
AE 2 + EC 2 =
4 2 + 8 2 =4
5 ，
∴AQ=
2
5
3 ，QC=
10
5
3 ，
在Rt△OHB中，OB=
HB 2 + HO 2 =
2 2 + 4 2 =2
5 ，
∵AC⊥OB，OK=KB，AK=CK，
∴OK=
5 ，AK=KC=2
5 ，
∴QK=AK-AQ=
4
5
3 ，
∴tan∠OQC=
OK
QK =
3
4 ，（1分）
当P点在BC边上运动时，如图（3），
∵∠BHM=∠PBM=90°，∠MPB=∠MBH，
∴tan∠MPB=tan∠MBH，
∴
BM
BP =
HM
HB ，即

5
2
BP =

3
2
2 ，
∴BP=
10
3 ，
∴t=
25
6 ，（1分）
∴PC=BC-BP=5-
10
3 =
5
3 ．
由PC ∥ OA，同理可证△PQC ∽ △OQA，
∴
CQ
AQ =
CP
AO ，
∴
CQ
AQ =
1
3 ，
CQ=
1
4 AC=
5 ，
∴QK=KC-CQ=
5 ，
∵OK=
5 ，
∴tan∠OQK=
OK
KQ =1 ．（1分）
综上所述，当t=
1
2 时，∠MPB与∠BCO互为余角，直线OP与直线AC所夹锐角的正切值为
3
4 ．
当t=
25
6 时，∠MPB与∠BCO互为余角，直线OP与直线AC所夹锐角的正切值为1．

1年前