（2014•海淀区模拟）已知曲线C：f（x）=2xeax-ax2-1．

解题思路：（Ⅰ）求出导数，求出切点，和切线的斜率，写出切线方程；
（Ⅱ）写出a=-1的函数式，曲线C与直线y=2x-1的交点个数与方程x（2e^-x+x-2）=0的解的个数相同，构造函数g（x）=2e^-x+x-2，求出导数，应用单调性求出极值、最值，应用零点存在定理即可判断；
（Ⅲ）通过导数，判断a＞0时的函数f（x）的单调性，注意应用指数函数的单调性，即可证明．

（Ⅰ）f（0）=-1，
∵f'（x）=（2ax+2）e^ax-2ax，∴f'（0）=2，
∴函数f（x）在（0，f（0））处的切线为y=2x-1．
（Ⅱ）当a=-1时，f（x）=2xe^-x+x²-1，
曲线C与直线y=2x-1的交点个数与方程x（2e^-x+x-2）=0的解的个数相同，x=0显然是该方程的一个解．
令g（x）=2e^-x+x-2，则g'（x）=-2e^-x+1，
由g'（x）=0得x=ln2
∵x＜ln2时，g'（x）＜0；x＞ln2时g'（x）＞0，
∴g（x）在（-∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．
∴g（x）最小值为g（ln2）=ln2-1，
∵ln2＜lne=1，∴g（ln2）＜0，
∵g（0）=0，g（2）=2e^-2＞0，
∴g（x）的零点一个是0，一个大于ln2，
∴两曲线有两个交点．
（Ⅲ）证明：f'（x）=2[（ax+1）e^ax-ax]
∵a＞0，∴当x＞0时，ax＞0，∴ax+1＞1，e^ax＞1，
∴f'（x）=2[（ax+1）e^ax-ax]＞2[（ax+1）-ax]=2＞0，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查导数在函数中的应用：求切线方程，求单调区间，求极值和最值，通过单调性证明，是一道中档题．