已知定义在[0，+∞）上的函数f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2-4|x−12|；当x＞1时，f（x）=af（x

由题意知，f(x)＝

2−4|x−
1
2|，0≤x≤1
af(x−1)，x＞1．
在描述①中，由x＞1，将a=2及x＝
3
2代入f（x）=af（x-1）中，
得f(
3
2)＝2f(
3
2−1)＝2f(
1
2)=2(2−4|
1
2−
1
2|)＝4，可知描述①正确．
在描述②中，
（1）若0＜a＜1，当0≤x≤1时，f(x)＝

4x，0≤x≤
1
2
−4x+4，
1
2＜x≤1，其图象是一条折线段，
当x＞1时，则f（x）的图象向右依次平移一个单位长度，
且每条折线段的转折点到x轴的距离是上一条折线段的转折点到x轴距离的a倍，
由f(
1
2)＝2知，0≤f（x）≤2．其图象如图1所示．
（2）若a=0，则f(x)＝

2−4|x−
1
2|，0≤x≤1
0，x＞1，此时亦有0≤f（x）≤2．
（3）若-1＜a＜0，则f（x）的图象向右依次平移一个单位长度，每条折线段在x轴上下交替出现，
且从第二段起，每条折线段的转折点到x轴的距离是上一条折线段的转折点到x轴距离的|a|倍，
此时，-2＜f（x）≤2．其图象如图2所示．
综合（1），（2），（3）知，f（x）的值域为（-2，2]，所以描述②错．
在描述③中，取a=4⁴，x＝
1
4，则f(
1
4)＝2−4|
1
4−
1
2|＝1，
而2ax−
1
2＝2×(44)
1
4−
1
2＝
1
2＜1，故描述③错．
在描述④中，由图2知，
当n=1时，f（x）的图象与直线y=2a^1-1即y=2在[0，1]内的交点个数为1，即1−
1+(−1)1
2；
当n=2时，f（x）的图象与直线y=2a^2-1即y=2a在[0，2]内的交点个数为1，即2−
1+(−1)2
2；
当n=3时，f（x）的图象与直线y=2a^3-1即y=2a²在[0，3]内的交点个数为3，即3−
1+(−1)3
2；
当n=4时，f（x）的图象与直线y=2a^4-1即y=2a³在[0，4]内的交点个数为3，即4−
1+(−1)4
2；
…
由此猜想：当-1＜a＜0时，函数f（x）的图象与直线y=2a^n-1（n∈N^*）在[0，n]内的交点个数为n-
1+(−1)n
2．
现用数学归纳法证明之．
（1）由上可知，当n=1时，猜想成立．
（2）假设n=k时，猜想成立，即函数f（x）的图象与直线y=2a^k-1（k∈N^*）在[0，k]内的交点个数为k-
1+(−1)k
2．
则当n=k+1时，如图2所示，若k为奇数，则交点个数与n=k时情形相同；
若k为偶数，则交点个数在n=k时的基础上增加2个，
所以当n=k+1时的交点个数在n=k时的基础上增加了1+（-1）^k个，
从而交点个数为k−
1+(−1)k
2+1+(−1)k=k+1−
1−(−1)k
2，得(k+1)−
1+(−1)k+1
2，
即当n=k+1时，猜想也成立．
综合（1），（2）知，猜想成立，所以描述④正确．
故①④正确，选C．

点评：
本题考点： 命题的真假判断与应用；分段函数的应用．

考点点评： 1．本题以绝对值函数为载体，考查了分段函数的解析式，值域及图象，尤其是图象间的平移与伸缩变换，考查了数形结合、分类讨论思想的运用与归纳推理能力．对分段函数问题，一般采取分段处理的方法，但“分段不分家”，应具备整体思想，必要时可画出图形结合分析．值得注意的是，在临界点处的情形应该谨慎对待．2．要说明一个命题为真，必须有严密的逻辑推理；要说明一个命题为假，只需举一反例即可．