已知函数f（x）=x3-ax2-3x（a∈R）．

（Ⅰ）由题意得f′（x）=3x²-2ax-3，
∵f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，
∴当x∈[1，+∞）时，恒有f′（x）≥0，
即3x²-2ax-3≥0在区间[1，+∞）上恒成立，
由△＝4a2+36＞0，
a
3≤1且f′（1）=-2a≥0，
解得a≤0，
（Ⅱ）依题意得f′(−
1
3)＝0，
1
3+
2
3a−3＝0，a＝4，
∴f（x）=x³-4x²-3x，
令f′（x）=3x²-8x-3=0，
解得x1＝−
1
3，x2＝3，
而f(1)＝−6，f(3)＝−18，f(−
1
3)＝−12，
故f（x）在区间[1，4]上的最大值是f（1）=-6．
（Ⅲ）若函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个不同的交点，
即方程x³-4x²-3x=bx恰有3个不等的实数根，
而x=0是方程x³-4x²-3x=bx的一个实数根，则
方程x²-4x-3-b=0有两个非零实数根，
则

△＝16+4(b+3)＞0
−3−b≠0，
即b＞-7且b≠-3，
故满足条件的b存在，其取值范围是（-7，-3）∪（-3，+∞）．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 掌握并会熟练运用导数与函数单调性的关系，以及根的存在性定理，会运用导数解决函数的极值和最值问题．