已知函数f（x）=x3-ax2-3x

解题思路：（1）求出函数的导数，利用x=-[1/3]是f（x）的极值点，求出a的值，通过函数的单调性，求出函数的最大值．
（2）利用函数在区间上是单调增函数，导数大于等于0恒成立，推出关系式，求出a的范围即可．

（1）f^′（x）=3x²-2ax-3，
∵x=-[1/3]是f（x）的极值点，∴f′(−
1
3)＝0，即3×(−
1
3)2−2a×(−
1
3)−3＝0，解得a=4．
经验证a=4满足题意．
∴f（x）=x³-4x²-3x，f^′（x）=3x²-8x-3，
令f^′（x）=（3x+1）（x-3）=0，解得x=−
1
3或3．
∴当x＜−
1
3或x＞3时，f^′（x）＞0，因此函数f（x）在区间(−∞，−
1
3)或（3，+∞）上单调递增；
当−
1
3＜x＜3时，f^′（x）＜0，因此函数f（x）在区间(−
1
3，3)上单调递减．
∴函数f（x）在[1，3]上单调递减，在区间[3，4]上单调递增．
又f（1）=-6，f（4）=-12．
∴f（x）在[1，4]上的最大值为f（1）=-6．
（2）∵函数f（x）在区间[1，+∞）是增函数，
∴f^′（x）=3x²-2ax-3≥0在[1，+∞）上恒成立，
则


a
3≤1
f′(1)≥0或△＜0，解得a≤0．

点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查函数与导数的关系，函数的最大值的求法，函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．

(1)a=4.min=-18,max=-6.(2)a≤0.