已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+ =0相

已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+ =0相切,过点P(4,0)且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求 · 的取值范围;
(3)若B点关于x轴的对称点是E,证明:直线AE与x轴相交于定点.
(1) + =1 (2) (3)见解析


(1)解:由题意知e= = ,
∴e ² = = = ,
即a ² = b ² .
又b= = ,
∴b ² =3,a ² =4,
故椭圆的方程为 + =1.
(2)解:由题意知直线l的斜率存在,
设直线l的方程为y=k(x-4).
由
得(4k ² +3)x ² -32k ² x+64k ² -12=0.
由Δ=(-32k ² ) ² -4(4k ² +3)(64k ² -12)>0,
得k ² < .
设A(x ₁ ,y ₁ ),B(x ₂ ,y ₂ ),
则 (*)
∴y ₁ y ₂ =k ² (x ₁ -4)(x ₂ -4)=k ² x ₁ x ₂ -4k ² (x ₁ +x ₂ )+16k ² ,
∴ · =x ₁ x ₂ +y ₁ y ₂
=(1+k ² )· -4k ² · +16k ²
=25-
∵0≤k ² < ,
∴- ≤- <- ,
∴ · ∈ .
∴ · 的取值范围是 .
(3)证明:∵B、E两点关于x轴对称,
∴E(x ₂ ,-y ₂ ).
直线AE的方程为y-y ₁ = (x-x ₁ ),
令y=0得x=x ₁ - ,
又y ₁ =k(x ₁ -4),y ₂ =k(x ₂ -4),
∴x= .
将(*)式代入得,x=1,
∴直线AE与x轴交于定点(1,0).