（2010•海淀区一模）已知：△AOB中，AB=OB=2，△COD中，CD=OC=3，∠ABO=∠DCO．连接AD、BC

（1）连接BM，CN，
∵△AOB中，AB=OB=2，△COD中，CD=OC=3，∠ABO=60°，
∴△AOB与△COD是等边三角形，
又∵点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点，
∴BM⊥AC，CN⊥BD，∠MBO=[1/2]∠ABO=∠NCO=[1/2]∠OCD=30°，
∴PM=PN=[1/2]BC，
∴∠PBM=∠PMB，∠PCN=∠PNC，
∵∠BAO=∠DCO=60°，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴∠MBP+∠BCN=180°-∠ABM-∠DCN=120°，
∴∠BPM+∠NPC=360°-2（∠MBP+∠BCN）=120°，
∴∠MPN=60°，
∴△PMN是等边三角形，
∴PM=PN=MN，
∵AD=2MN，BC=2PM，
∴[AD/BC]=1．

（2）证明：连接BM、CN．
由题意，得BM⊥OA，CN⊥OD，∠AOB=∠COD=90°-α．
∵A、O、C三点在同一直线上，
∴B、O、D三点在同一直线上．
∴∠BMC=∠CNB=90°．
∵P为BC中点，
∴在Rt△BMC中，PM＝
1
2BC．
在Rt△BNC中，PN＝
1
2BC，
∴PM=PN．
∴B、C、N、M四点都在以P为圆心，[1/2BC为半径的圆上．
∴∠MPN=2∠MBN．
又∵∠MBN＝
1
2∠ABO＝α，
∴∠MPN=∠ABO．
∴△PMN∽△BAO．
∴
MN
PM＝
AO
BA]．由题意，MN＝
1
2AD，又PM＝
1
2BC．
∴[AD/BC＝
MN
PM]．
∴[AD/BC＝
AO
BA]．
在Rt△BMA中，[AM/AB＝sinα．
∵AO=2AM，
∴
AO
BA＝2sinα．
∴
AD
BC＝2sinα．

（3）
5
2]．
当OC∥AB时，即四边形ABCO是梯形时，PM有最大值．
PM=（AB+CD）÷2=（2+3）÷2=[5/2]．

点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定；确定圆的条件．

考点点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质及等边三角形的确定条件，综合性强，较为复杂．