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解题思路：讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．
f′（x）=5x4+20x3+15x2=5x2（x+3）（x+1），
当f′（x）=0得x=0，或x=-1，或x=-3，
∵0∈[-1，4]，-1∈[-1，4]，-3∉[-1，4]
列表：
又f（0）=0，f（-1）=0；右端点处f（4）=2625；
∴函数y=x5+5x4+5x3+1在区间[-1，4]上的最大值为2625，最小值为0．
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求最值是高考中常见问题，属于基础题．
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