已知双曲线C： x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 （a＞0，b＞0）的右准线与一条渐近线交于点M，F是右焦点，若

（1）由对称性，不妨设M是右准线 x=
a 2
c 与一渐近线 y=
b
a x 的交点，
其坐标为M（
a 2
c ，
ab
c ），∵|MF|=1，∴
b 4
c 2 +
a 2 b 2
c 2 =1 ，
又 e=
c
a =

6
2 ∴
b
a =
e 2 -1 =

2
2 ， c 2 = a 2 + b 2 =
3
2 a 2 ，
解得a ² =2，b ² =1，所以双曲线C的方程是
x 2
2 - y 2 =1 ；（6分）
（2）设直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，设点P（x ₁ ，y ₁ ），Q（x ₂ ，y ₂ ），
由

y=kx+1
x 2 -2 y 2 =2 得：（1-2k ² ）x ² -4kx-4=0，
∵l与双曲线C的右支交于不同的两点P、Q，
∴

△=16 k 2 +16(1-2 k 2 )＞0
x 1 + x 2 =
-4k
2 k 2 -1 ＞0
x 1 x 2 =
4
2 k 2 -1 ＞0
1-2 k 2 ≠0
∴
1
2 ＜ k 2 ＜1 且k＜0①（9分）
又∵

AP =λ

AQ 且P在A、Q之间， λ≥
1
3 ，∴x ₁ =λx ₂ 且
1
3 ≤λ＜1 ，
∴

(1+λ) x 2 =
-4k
2 k 2 -1
λ
x 22 =
4
2 k 2 -1 ∴
(1+λ) 2
λ =
4 k 2
2 k 2 -1 =2+
2
2 k 2 -1 ，
∵ f(λ)=
(1+λ) 2
λ = λ+
1
λ +2 在 [
1
3 ，1) 上是减函数（∵f′（λ）＜0），
∴ 4＜f(λ)≤
16
3 ，
∴ 4＜2+
2
2 k 2 -1 ≤
16
3 ，由于 k 2 ＞
1
2 ，∴
4
5 ≤ k 2 ＜1 ②（12分）
由①②可得： -1＜k≤-
2
5
5 ，（13分）
即直线l斜率取值范围为 (-1，-
2
5
5 ] （14分）