证明一个函数的周期设a>0,如果f(x)+f(x+a)+f(x+2a)+f(x+3a)+f(x+4a)=f(x)f(x+

f(x)+f(x+a)+f(x+2a)+f(x+3a)+f(x+4a)=f(x)f(x+a)f(x+2a)f(x+3a)f(x+4a)
令x=x+a
f(x+a)+f(x+2a)+f(x+3a)+f(x+4a)+f(x+5a)=f(x+a)f(x+2a)f(x+3a)f(x+4a)f(x+5a)
两式做差：
f(x+5a)-f(x)=【f(x+5a)-f(x)】【f(x+a)f(x+2a)f(x+3a)f(x+4a)】
整理
【f(x+5a)-f(x)】【f(x+a)f(x+2a)f(x+3a)f(x+4a)-1】=0
若f(x+5a)-f(x）=0则f(x+5a)=f(x）证毕
否则
f(x+a)f(x+2a)f(x+3a)f(x+4a)=1
令x=x+a
f(x+2a)f(x+3a)f(x+4a)f(x+5a)=1
两式相比有：
f(x+5a)/f(x）=1则f(x+5a)=f(x）证毕

令 X=x+a 得f(x+a)+f(x+2a)+f(x+3a)+f(x+4a)+f(x+5a)=f(x+a)f(x+2a)f(x+3a)f(x+4a)f(x+5a) 与题中式子相减 得
f(x+5a)-f(x)=[f(x+5a)-f(x)]f(x+a)f(x+2a)f(x+3a)f(x+4a)
有f(x+5a)-f(x)=0 命题得证
或 f(x+a)f(x+2a)f(x+3a)f(x+4a)=1 令 X=x+a 有f(x+2a)f(x+3a)f(x+4a)f(x+5a)=1 得f(x+5a)=f(x) 命题得证