已知动圆M经过点G（0，-1），且与圆Q：x 2 +（y-1） 2 =8内切．

（Ⅰ）依题意，点G（0，-1）在圆Q：x ² +（y-1） ² =8内部，
动圆与定圆相内切，且动圆在定圆内部，
∴得| MG|+|MQ|=2
2 ，
可知M到两个定点G、Q的距离和为常数，并且常数大于|GQ|，所以P点的轨迹为椭圆，可以求得 a=
2 ，c=1，b=1，
所以曲线E的方程为 x 2 +
y 2
2 =1 ．…5分
（Ⅱ）假设E上存在点P，使四边形OAPB为平行四边形．
由 （Ⅰ）可知曲线E的方程为 x 2 +
y 2
2 =1 ．
设直线l的方程为 y=
2 x+m ，A（x ₁ ，y ₁ ），B（x ₂ ，y ₂ ）．
由

y=
2 x+m
x 2 +
y 2
2 =1. ，得 4 x 2 +2
2 mx+ m 2 -2=0 ，
由△＞0得m ² ＜4，且 x 1 + x 2 =-

2 m
2 ， x 1 x 2 =
m 2 -2
4 ，…7分
则 y 1 y 2 =(
2 x 1 +m)(
2 x 2 +m)=
m 2 -2
2 ，y ₁ +y ₂ = (
2 x 1 +m)+(
2 x 2 +m)=m ，E上的点P使四边形OAPB为平行四边形的充要条件是

OP =

OA +

OB ，
即P点的坐标为（x ₁ +x ₂ ，y ₁ +y ₂ ）
且 ( x 1 + x 2 ) 2 +
( y 1 + y 2 ) 2
2 =1 ，
又 x 1 2 +
y 1 2
2 =1 ， x 2 2 +
y 2 2
2 =1 ，所以可得2x ₁ x ₂ +y ₁ y ₂ +1=0，…9分
可得m ² =1，即m=1或m=-1．
当m=1时， P(-

2
2 ，1) ，直线l方程为 y=
2 x+1 ；
当m=-1时， P(

2
2 ，-1) ，直线l方程为 y=
2 x-1 ． 12分．