（2009•锦州）如图，直角梯形ABCD和正方形EFGC的边BC、CG在同一条直线上，AD∥BC，AB⊥BC于点B，AD

解题思路：（1）可通过求出梯形的面积即正方形的面积来求正方形的边长．
（2）由（1）的结果可看出AD，EF也在一条直线上，那么本题要分两种情况进行讨论．
①当D在E点上或E点左侧时，即当0＜x≤4时，重叠部分是个三角形，如果设DN与CE的交点为M，那么高就是CM底边就是CN，CN=x，CM可以通过构建相似三角形来求，过D作DH⊥BC于H，那么根据三角形CMN和HDN相似即可求出CM，也就能得出关于x，y的函数关系式．
②当D在E点右侧时，即当4＜x≤6时，重叠部分是直角梯形，而DE=CG-（8-x），然后根据梯形的面积公式即可得出x，y的函数关系式．
（3）先求出梯形的面积，然后将其一半的值代入（2）的函数式中，求出符合题意的解即可．

（1）S_{正方形EFGC}=S_梯形ABCD=[1/2]（4+8）×6=36．
设正方形边长为x．
∴x²=36，
∴x₁=6，x₂=-6（不合题意，舍去）．
∴正方形的边长为6．

（2）①当0＜x≤4时，重叠部分为△MCN．
过D作DH⊥BC于H，可得△MCN∽△DHN，
∴[MC/DH]=[CN/HN]，
∴[MC/6]=[X/4]，
∴MC=[3/2]x，
∴S=[1/2]CN•CM=[1/2]•x•[3/2]x．
∴S=[3/4]x²．
②当4＜x≤6时，重叠部分为直角梯形ECND．
S=[1/2][4-（8-x）+x]×6，
∴S=6x-12．

（3）存在．
∵S_梯形ABCD=36，当0＜x≤4时，S=[3/4]x²，
∴[1/2]×36=[3/4]x²，x=2
6（取正值）＞4
∴此时x值不存在．
当4＜x≤6时，S=6x-12，
∴[1/2]×36=6x-12，
∴x=5．
综上所述，当x=5时，重叠部分面积S等于直角梯形的一半．

点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；根据实际问题列一次函数关系式；根据实际问题列二次函数关系式；三角形的面积；正方形的性质；直角梯形．

考点点评： 本题主要考查了梯形、正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识点，（2）中要根据重合部分的形状的不同来分类讨论．不要漏解．