已知函数f（x）=ax2+（1-2a）x-lnx（a∈R）．

（1）由函数f（x）=ax²+（1-2a）x-lnx（a∈R，x＞0），
可得f′（x）=2ax+（1-2a）-[1/x]=
2ax2+(1−2a)x−1
x=
(2ax+1)(x−1)
x．
令f′（x）≥0，由于a＞0，x＞0，∴[2ax+1/x＞0，∴x-1≥0，解得x≥1．
因此函数f（x）的单调增区间是[1，+∞）；
（2）由（1）可得f′（x）=
2a(x−
1
−2a)(x−1)
x]．
由于a＜0．
当[1/−2a≥1即−
1
2≤a＜0时，f′（x）≤0，因此函数f（x）在区间[
1
2]，1]上单调递减，
∴当x=1时，f（x）取得最小值，f（1）=a+1-2a-0=1-a．
当0＜−
1
2a≤
1
2即a≤-1时，f′（x）≥0，因此函数f（x）在区间[[1/2]，1]上单调递增，
∴当x=[1/2]时，f（x）取得最小值，f(
1
2)=[1/4a+
1
2(1−2a)−ln
1
2a]=[1/2−
3
4a+ln2a．
当
1
2＜−
1
2a]＜1即-1＜a＜-[1/2]时，令f′（x）=0，解得x＝−
1
2a．
当[1/2≤x＜−
1
2a]时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；
当−
1
2a＜x≤1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．
因此当x=−
1
2a时，f（x）取得最小值，f(−
1
2a)=1−
1
4a+ln(−2a)．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．

1年前

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