设函数f(x)＝23+1x(x＞0)，数列{an}满足a1＝1，an＝f(1an−1)，n∈N*且n≥2．
设函数f(x)＝
+
(x＞0)，数列{an}满足a1＝1，an＝f(
)，n∈N*且n≥2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）对n∈N*，设Sn＝
+
+
+…+
，求证：Sn＜
．
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| x |
| 1 |
| an−1 |
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）对n∈N*，设Sn＝
| 1 |
| a1a2 |
| 1 |
| a2a3 |
| 1 |
| a3a4 |
| 1 |
| anan+1 |
| 3 |
| 2 |
赞 葭韵 幼苗
共回答了13个问题采纳率：92.3% 举报
解题思路：（1）根据函数f(x)＝
+
(x＞0)，an＝f(
)，n∈N*，n≥2，可得an-an-1=[2/3]，从而数列{an}是等差数列，由此可求数列{an}的通项公式；
（2）裂项可得
＝
(
−
)，求出Sn，即可证得结论．
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| x |
| 1 |
| an−1 |
（2）裂项可得
| 1 |
| anan+1 |
| 9 |
| 2 |
| 1 |
| 2n+1 |
| 1 |
| 2n+3 |
（1）∵函数f(x)＝
2
3+
1
x(x＞0)，an＝f(
1
an−1)，n∈N*，n≥2，
∴an-an-1=[2/3]
∴数列{an}是等差数列
∵a1=1，
∴an=[2n+1/3]
（2）证明：∵[1
anan+1＝
9/2(
1
2n+1−
1
2n+3)
∴Sn＝
1
a1a2+
1
a2a3+
1
a3a4+…+
1
anan+1]=[9/2(
1
3−
1
5+
1
5−
1
7+…+
1
2n+1−
1
2n+3)
=
9
2(
1
3−
1
2n+3)＜
3
2]
点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；数列与函数的综合．
考点点评： 本题考查数列与函数的结合，考查数列的通项，考查裂项法求和，考查不等式的证明，确定数列的通项是关键．
1年前
5
可能相似的问题
你能帮帮他们吗