已知函数f（x）=lg[a−x/1+x]，

已知函数f（x）=lg[a−x/1+x]，
（Ⅰ）若f（x）为奇函数，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在（-1，5]内有意义，求a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，判断并证明f（x）的单调性．
一千零一love 1年前 已收到1个回答 举报
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蛋蛋家的宝贝 幼苗

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解题思路：（Ⅰ）由f（x）为奇函数 可得f（x）+f（-x）=0，即lg
a−x
1+x
+lg
a+x
1−x
＝0，即
(a−x)(a+x)
1−x2
＝1，由此可得a的值．
（Ⅱ）由题意可得f（x）在（-1，5]上 [a−x/1+x＞0恒成立，再由x+1＞0，可得a-x＞0，故a＞x在（-1，5]上
恒成立，由此可得a的范围．
（Ⅲ）当a＞5时，f（x）在定义域上为减函数，求得f（x）定义域为（-1，a）． 令-1＜x1＜x2＜a，
由于 f(x1)−f(x2)＝lg
a−x 1
1+x1
−lg
a−x2
1+x2]=lg
a−x1
1+x1
•
1+x2
a−x2
=lg
a−x1
a−x2
•
1+x2
1+x1
＞0，可得f（x1）＞f（x2），从而得出结论．

（Ⅰ）∵f（x）为奇函数，∴f（x）+f（-x）=0，
即lg
a−x
1+x+lg
a+x
1−x＝0，∴
(a−x)(a+x)
1−x2＝1，∴a=1．…（4分）
（Ⅱ）∵若f（x）在（-1，5]内恒有意义，则在（-1，5]上 [a−x/1+x＞0恒成立，再由x+1＞0，
∴a-x＞0，∴a＞x在（-1，5]上恒成立，∴a＞5．…（8分）
（Ⅲ）当a＞5时，f（x）在定义域上为减函数，…（10分）
由
a−x
1+x＞0，a＞5，得f（x）定义域为（-1，a）． …（12分）
令-1＜x1＜x2＜a，由于 f(x1)−f(x2)＝lg
a−x 1
1+x1−lg
a−x2
1+x2]=lg
a−x1
1+x1•
1+x2
a−x2=lg
a−x1
a−x2•
1+x2
1+x1，…（14分）
∵-1＜x1＜x2＜a，∴a-x1＞a-x2＞0，1+x2＞1+x1＞0，∴
a−x1
a−x2＞1，
1+x2
1+x1＞1，
∴
a−x1
a−x2•
1+x2
1+x1＞1，∴lg
a−x1
a−x2•
1+x2
1+x1＞0，∴f（x1）-f（x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2），∴f（x1）在（-1，a）为减函数．…（16分）

点评：
本题考点： 对数函数图象与性质的综合应用．

考点点评： 本题主要考查奇函数的定义和性质，对数函数的图象和性质应用，函数的恒成立问题，属于中档题．

1年前

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