已知直线y=kx+3(k<0)分别交x轴、y轴于A、B两点,线段OA上有一动点P由原点O向点A运动,速度为每秒1个单位长

已知直线y=kx+3(k<0)分别交x轴、y轴于A、B两点,线段OA上有一动点P由原点O向点A运动,速度为每秒1个单位长度,过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,设运动时间为t秒。
(1)当k=-1时,线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动,它与点P以相同速度同时出发,当点P到达点A时两点同时停止运动(如图1)。
①直接写出t=1秒时C、Q两点的坐标;
②若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似,求t的值;
(2)当k=- 时,设以C为顶点的抛物线y=(x+m) 2 +n与直线AB的另一交点为D(如图2)。
①求CD的长;
②设△COD的OC边上的高为h,当t为何值时,h的值最大?
隆其昕 1年前 已收到1个回答 举报

wyt870216 幼苗

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(1)①C(1,2),Q(2,0);
②由题意得:P(t,0),C(t,-t+3),Q(3-t,0),
分两种情况讨论:
情形一:当△AQC∽△AOB时,∠AQC=∠AOB=90°,
∴CQ⊥OA,
∵CP⊥OA,
∴点P与点Q重合,OQ=OP,
即3-t=t,
∴t=1.5;
情形二:当△AQC∽△AOB时,∠ACQ=∠AOB=90°,
∵OA=OB=3,
∴△AOB是等腰直角三角形,
∴△ACQ也是等腰直角三角形,
∵CP⊥OA,
∴AQ=2CP,
即t=2(-t+3),
∴t=2,
∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒;
(2)①由题意得:C(t,-
∴以C为顶点的抛物线解析式是y=

解得
过点D作DE⊥CP于点E,
则∠DEC=∠AOB=90°,
∵DE∥OA,
∴∠EDC=∠OAB,
∴△DEC∽△AOB

∵AO=4,AB=5,DE=
∴CD=
②∵
CD边上的高=

∴S △COD 为定值,
要使OC边上的高h的值最大,只要OC最短,
因为当OC⊥AB时OC最短,
此时OC的长为 ,∠BCO=90°
∵∠AOB=90°
∴∠COP=90°-∠BOC=∠OBA
又∵CP⊥OA
∴Rt△PCO∽Rt△OAB
,OP=
即t=
∴当t为 秒时,h的值最大。

1年前

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