已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD、AB上，∠ECB=∠FCD，CE、BA的延长线相交于点G．

已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD、AB上，∠ECB=∠FCD，CE、BA的延长线相交于点G．
求证：（1）BC2=BF•BG；
（2）BF•BA=DE•DA．
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孤僻怪人 幼苗

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解题思路：（1）根据四边形ABCD可得AB∥CD，于是∠G=∠ECD，而∠ECB=∠FCD，利用等式性质可得∠BCF=∠ECD，从而有∠BCF=∠G，结合∠B是公共角，从而可证△BCF∽△BGC，利用比例线段可得BC2=BF•BG；
（2）利用平行四边形的性质可得∠B=∠D，结合∠BCF=∠ECD，易证△BCF∽△DCE，利用比例线段可得[BF/DE＝
BC
DC]，
而BA=DC，DA=BC，等量代换可得BF•BA=DE•DA．

证明：
（1）∵在▱ABCD中，AB∥CD，
∴∠G=∠ECD，
∵∠ECB=∠FCD，
∴∠BCF=∠ECD，
∴∠BCF=∠G，
∵∠B=∠B，
∴△BCF∽△BGC，
∴[BC/BG＝
BF
BC]，
∴BC2=BF•BG；

（2）∵在▱ABCD中，∠B=∠D，
又∵∠BCF=∠ECD，
∴△BCF∽△DCE，
∴[BF/DE＝
BC
DC]，
∵BA=DC，DA=BC，
∴[BF/DE＝
DA
BA]，
∴BF•BA=DE•DA．

点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．

考点点评： 本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质．解题的关键是证明△BCF∽△BGC、△BCF∽△DCE．

1年前

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