线性代数问题四元方程组Ax=b的所有解向量中最多3个线性无关的解,则r（A）的秩是?我知道是用 x1-x2和x2-x3拼

线性代数问题
四元方程组Ax=b的所有解向量中最多3个线性无关的解,则r（A）的秩是?
我知道是用 x1-x2和x2-x3拼凑成齐次方程组的基础解系,但是为什么只有2个线性无关的基础解系?不能有3个?

zzm1zzm1 1年前已收到2个回答举报

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这里有个限制条件：b不为0向量.
基础解系中的向量是满足Ax＝0的解,而
特解是满足Ax＝b的解.可以证明,
Ax＝0的基础解系a1,...,as以及Ax＝b的特解at,这个
向量组必是线性无关的.
设k1a1+...+ksas+ktat＝0,(*)
左乘A注意到Aai＝0,1

1年前追问

zzm1zzm1 举报

是不是非齐次方程组有n个无关的解那么其对应齐次方程组就有n-1个基础解系？

举报没rr吃亏

对，上面就是证明了这个结论。准确的说就是：非齐次方程组最多有n个无关的解，则对应的齐次方程组的基础解系的秩是n-1。

rain20070802 幼苗

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知识点：非齐次线性方程组Ax=b的特解和对应齐次方程Ax=0的基础解系组成的向量组必定线性无关
因此，r(A)+1=3,所以r(A)=2

1年前

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