如图①，边长为4cm的正方形ABCD的顶点A与坐标原点0重合，边AB在x轴上，点C在第四象限，当正方形ABCD沿x轴以1
如图①，边长为4cm的正方形ABCD的顶点A与坐标原点0重合，边AB在x轴上，点C在第四象限，当正方形ABCD沿x轴以1cm/秒的速度向右匀速运动，运动时间为t秒时，经过A、B两点的抛物线y=ax2+bx+c与y轴相交于E点，其顶点为M．
（1）若正方形ABCD在运动过程中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点M保持在正方形的内部，求a的取值范围．
（2）设正方形ABCD在运动过程中，△ABE与△ABM的面积比为k，求k与运动时间为t（秒）之间的关系式．
（3）当正方形ABCD沿x轴向右运动2秒钟时，在抛物线y=ax2+bx+c上存在一个点P，使△ABP为直角三角形，且△OPA∽△OBP，求此时抛物线的解析式．
（1）若正方形ABCD在运动过程中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点M保持在正方形的内部，求a的取值范围．
（2）设正方形ABCD在运动过程中，△ABE与△ABM的面积比为k，求k与运动时间为t（秒）之间的关系式．
（3）当正方形ABCD沿x轴向右运动2秒钟时，在抛物线y=ax2+bx+c上存在一个点P，使△ABP为直角三角形，且△OPA∽△OBP，求此时抛物线的解析式．
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（1）∵A（t，0），B（t+4，0），
∴抛物线对称轴为x=t+2．
设y=a（x-t-2）2+k，
将A（t，0）代入，得k=-4a，
∴y=a（x-t-2）2-4a，
∴顶点M（t+2，-4a），
由-4a＜0，-4a＞-4，
解得：0＜a＜1．
（2）由（1）知M（t+2，-4a），E（0，at2+4at）
k＝
1
2×4×(at2+4at)
1
2×4×4a＝
1
4t2+t；
（3）∵t=2，
∴y=a（x-4）2-4a，
当y=0时，x1=2，x2=6，
∴OA=2，OB=6，
∵△OPA∽△OBP，
∴[OP/OB]=[OA/OP]=[AP/BP]，
∴OP=2
3（负值舍去），
[AP/BP]=
1
3，
∵△ABP为直角三角形，AB=4，
∴AP=2，BP=2
3=OP
作DF⊥AB于F，则OF=[1/2]OB=3，
∴PF=
OP2−OF2＝
3，P（3，-
∴抛物线对称轴为x=t+2．
设y=a（x-t-2）2+k，
将A（t，0）代入，得k=-4a，
∴y=a（x-t-2）2-4a，
∴顶点M（t+2，-4a），
由-4a＜0，-4a＞-4，
解得：0＜a＜1．
（2）由（1）知M（t+2，-4a），E（0，at2+4at）
k＝
1
2×4×(at2+4at)
1
2×4×4a＝
1
4t2+t；
（3）∵t=2，
∴y=a（x-4）2-4a，
当y=0时，x1=2，x2=6，
∴OA=2，OB=6，
∵△OPA∽△OBP，
∴[OP/OB]=[OA/OP]=[AP/BP]，
∴OP=2
3（负值舍去），
[AP/BP]=
1
3，
∵△ABP为直角三角形，AB=4，
∴AP=2，BP=2
3=OP
作DF⊥AB于F，则OF=[1/2]OB=3，
∴PF=
OP2−OF2＝
3，P（3，-
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