已知O是锐角三角形ABC的外接圆圆心,AB向量的模为16,AC向量的模为10√2,若,向量AO＝xAB＋yAC,且32x
已知O是锐角三角形ABC的外接圆圆心,AB向量的模为16,AC向量的模为10√2,若,向量AO＝xAB＋yAC,且32x＋25y＝25,求AO向量的模长?
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因为O是△ABC外心,
∴AOcos∠AOB=（1/2）AB,
即AO在AB上面的投影等于AB的一半.
由AO·AB=|AO||AB|cos∠OAB=（1/2）|AB||AB|=128,
AO·AC=|AO||AC|cos∠OAC=（1/2）|AC||AC|=100
由AO=xAB+yAC,
AO·AB=xAB·AB+yAC·AB
=256x+yAC·AB=128 ①
AO·AC=xAB·AC+yAC·AC
=xAB·AC+200y=100 ②
32x+25y=25 ③
得：x=25/65,y=24/56,AB·AC、32
或者x=25/8,y=-3,AB·AC=224.
∴AO²=（xAB+yAC）²
=x²AB²+2xyAB·AC+y²AC²
=（25/56）²×16²++2×25/56×24/56×224+（24/56）²×（10√2）²=100
∴|AO|=10.
∴AOcos∠AOB=（1/2）AB,
即AO在AB上面的投影等于AB的一半.
由AO·AB=|AO||AB|cos∠OAB=（1/2）|AB||AB|=128,
AO·AC=|AO||AC|cos∠OAC=（1/2）|AC||AC|=100
由AO=xAB+yAC,
AO·AB=xAB·AB+yAC·AB
=256x+yAC·AB=128 ①
AO·AC=xAB·AC+yAC·AC
=xAB·AC+200y=100 ②
32x+25y=25 ③
得：x=25/65,y=24/56,AB·AC、32
或者x=25/8,y=-3,AB·AC=224.
∴AO²=（xAB+yAC）²
=x²AB²+2xyAB·AC+y²AC²
=（25/56）²×16²++2×25/56×24/56×224+（24/56）²×（10√2）²=100
∴|AO|=10.
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