文科数列求和一共有哪几种方法?分组求和适用于等差+等比,裂项相消适用于等差乘以等比吗?还有别的方法吗?

数列求和的几种常用方法
数列求和是数列部分的重要内容,题型复杂多变,我们根据不同题型总结出一些方法.它对数列的学习是有好处的.
一、 反序相加法
例1 求数列{n}的前n项和.
解 记Sn=1+2+…+(n-1)+n,
将上式倒写得:Sn=n+(n-1)+…+2+1
把两式相加,由于等式右边对应的项和均为n+1,
∴2 Sn=n(n+1),即Sn= n(n+1)
说明 此法亦称为高斯求和.
二、 错位相减法
若{an}为等差数列,{bn}为等比数列,则{anbn}的前n项和可用错位相减法.
例2 求和S =
解 由原式乘以公比 得:
Sn=
原式与上式相减,由于错位后对应项的分母相同,可以合并,
∴Sn- Sn= +
即 Sn=3
一般地,当等比数列{bn}的公比为q,则错位相减的实质是作“Sn- qSn”求和.
三、 累加法
例3 求和Sn=
分析 由 得
,令k=1、2、3、…、n得
2 －1 =3•1 ＋3•1＋1
3 －2 ＝3•2 ＋3•2＋1
4 －3 ＝3•3 ＋3•3＋1
……
（n+1） －n =3n +3n+1
把以上各式两边分别相加得：
（n+1） －1=3(1 +2 +…+n )+3(1+2+3+…+n)+n
=3Sn+ n(n+1)+n
因此,Sn＝ n(n+1)(2n+1)
想一想 利用此法能否推导自然数的立方和公式：
点拨 利用(k+1) =k +4k +6k +4k+1进行累加.
归纳 推导自然数的方幂和 公式的方法.
四、 裂项法
从一般项入手,寻找规律,有时往往把一般项折项,使
得折项后能相消或归结于基本类型.
(1) 裂项分组
例4 求数列:
的前n项的和.
分析 从一般项入手,记a = ,
则 an＝ ＝ .
可见,每一项都可分成一个常数项与一个等比数列的和,若记原数列的前n项为Sn,则
Sn＝
(2) 裂项相消
例5 求和：S ＝
分析 从一般项考虑知：,
所以将各项裂项后,前后的相邻项可以相消.
即 S ＝
例5 求证 tgxtg2x+tg2xtg3x+…+tg(n-1)xtgnx= -1
观察 观察式子的结构特点,左边各项的两因式的角之差
为定值x,从一般项入手,能否使之裂项出现这两角的差?
点拨 考虑两角差的正切函数公式的变式.
事实上,由tg(k-1)xtgkx= -1,
令k=2,3,…,n.各式相加即得结论