（2013•安庆二模）如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10，小明同学将一个足够大的透明的三角板的直角
（2013•安庆二模）如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10，小明同学将一个足够大的透明的三角板的直角顶点放在BC的中点D处．
（1）若三角板的两边与△ABC的边AB、AC分别交于点E、F，求证：△DEF是等腰三角形．
（2）小明同学将三角板绕点D旋转，三角板的两边与△ABC的边AB、AC分别交于点E、F，请你探究四边形AEDF的面积是否变化？若没有变化，请求出四边形AEDF的面积；若有变化，请说明理由．
（3）小明同学继续旋转三角板，如图2，当点E、F分别在AB、CA延长线上时，设BE的长为X，四边形ADEF的面积为S，请探究S与x的函数关系式．
（1）若三角板的两边与△ABC的边AB、AC分别交于点E、F，求证：△DEF是等腰三角形．
（2）小明同学将三角板绕点D旋转，三角板的两边与△ABC的边AB、AC分别交于点E、F，请你探究四边形AEDF的面积是否变化？若没有变化，请求出四边形AEDF的面积；若有变化，请说明理由．
（3）小明同学继续旋转三角板，如图2，当点E、F分别在AB、CA延长线上时，设BE的长为X，四边形ADEF的面积为S，请探究S与x的函数关系式．
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（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，D为BC中点，
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，
∴AD=DC=DB，AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∵∠EDA+∠ADF=90°，∠FDC+∠ADF=90°，
∴∠EDA=∠FDC，
在△AED和△CFD中
∠EAD＝∠C＝45°
AD＝DC
∠EDA＝∠FDC
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴ED=FD，
∴△DEF为等腰三角形；
（2）四边形ADEF的面积没有变化，
理由：如图1，∵△AED≌△CFD，
∴S△ABC=[1/2]×10×10=50
∴S四边形ADEF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=[1/2]S△ABC=25；
（3）如图2，由（1）中证明知∠ADF=∠BDE，∠FAD=∠EBD=135°，AD=BD，
同理△AFD≌△BED，
∴BE=AF=x，
过点D作DM⊥AB，垂足为M，则DM=[1/2]AB，
题目中AB=10．DM=[1/2]AB=5，
故四边形ADEF的面积S=S△AEF+S△AED=[1/2]AE•AF+[1/2]AE•DM=[1/2]（x+10）x+[1/2]（x+10）×5
即S=[1/2]x2+[15/2]x+25．
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，
∴AD=DC=DB，AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∵∠EDA+∠ADF=90°，∠FDC+∠ADF=90°，
∴∠EDA=∠FDC，
在△AED和△CFD中
∠EAD＝∠C＝45°
AD＝DC
∠EDA＝∠FDC
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴ED=FD，
∴△DEF为等腰三角形；
（2）四边形ADEF的面积没有变化，
理由：如图1，∵△AED≌△CFD，
∴S△ABC=[1/2]×10×10=50
∴S四边形ADEF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=[1/2]S△ABC=25；
（3）如图2，由（1）中证明知∠ADF=∠BDE，∠FAD=∠EBD=135°，AD=BD，
同理△AFD≌△BED，
∴BE=AF=x，
过点D作DM⊥AB，垂足为M，则DM=[1/2]AB，
题目中AB=10．DM=[1/2]AB=5，
故四边形ADEF的面积S=S△AEF+S△AED=[1/2]AE•AF+[1/2]AE•DM=[1/2]（x+10）x+[1/2]（x+10）×5
即S=[1/2]x2+[15/2]x+25．
1年前
2
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