设抛物线C：x 2 =2py（p＞0）的焦点为F，A（x 0 ，y 0 ）（x 0 ≠0）是抛物线C上的一定点．

（1）由题设 F(0，
p
2 ) ，设 Q( x 1 ，
p
2 ) ，则 R(- x 1 ，
p
2 ) …（1分）
|QR|=
( x 1 -(- x 1 )) 2 + (
p
2 -
p
2 ) 2 = 2
x 1 2 =2
2p×
p
2 =2p ．…（2分）
∴由△QRS的面积为4，得：
1
2 ×2p×p=4 ，得：p=2．…（4分）
（2）证明：由题意A ₁ （-x ₀ ，y ₀ ）…（5分）
首先求抛物线C在点A关于对称轴的对称点A ₁ 处的切线的斜率．
解法一：设抛物线在A ₁ 处的切线的斜率为k，则其方程为y=k（x+x ₀ ）+y ₀ …（6分）
联立

y=k(x+ x 0 )+ y 0
x 2 =2py ，消去y得x ² -2pkx-2px ₀ k-2py ₀ =0
将 2p y 0 = x 0 2 代入上式得： x 2 -2pkx-2p x 0 k- x 0 2 =0 …（7分）
△=(-2pk ) 2 +4(2p x 0 k+ x 0 2 )=0 …（8分）
即 p 2 k 2 +2p x 0 k+ x 0 2 =0 ，即 (pk+ x 0 ) 2 =0 ，得 k=-
x 0
p ．
即抛物线C在点A关于对称轴的对称点A ₁ 处的切线的斜率为 -
x 0
p ．…（9分）
解法二：由x ² =2py得 y=
1
2p x 2 ，…（6分）
∴ y ′ =
x
p …（7分）
∴抛物线C在点A关于对称轴的对称点A ₁ （-x ₀ ，y ₀ ）处的切线的斜率为 -
x 0
p ．…（9分）
再求直线MN的斜率．
解法一：设直线AM的斜率为k ₁ ，则由题意直线AN的斜率为-k ₁ ．…（10分）
直线AM的方程为y-y ₀ =k ₁ （x-x ₀ ），则直线AN的方程为y-y ₀ =-k ₁ （x-x ₀ ）．
联立

x 2 =2py
y= k 1 (x- x 0 )+ y 0 ，消去y得 x 2 -2p k 1 x+2p k 1 x 0 - x 0 2 =0 …（1）…（11分）
∵方程（1）有两个根x ₀ ，x ₁ ，∴ △=(-2p k 1 ) 2 -4(2p x 0 k 1 - x 0 2 )＞0
∴ x 0，1 =
2p k 1 ±
△
2 ，x ₀ +x ₁ =2pk ₁ ，即x ₁ =2pk ₁ -x ₀ ，同理可得x ₂ =-2pk ₁ -x ₀ …（12分）
直线MN的斜率 k MN =
y 2 - y 1
x 2 - x 1 =

x 2 2
2p -
x 1 2
2p
x 2 - x 1 =
x 1 + x 2
2p =
-2 x 0
2p =-
x 0
p ．…（13分）
∴直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A ₁ 处的切线的斜率．…（14分）
解法二：∵k _AM =-k _AN …（10分）
∴
y 0 - y 1
x 0 - x 1 =-
y 0 - y 2
x 0 - x 2 …（11分）
将 y 0 =
x 0 2
2p ， y 1 =
x 1 2
2p ， y 2 =
x 2 2
2p 分别代入上式得：

x 0 2
2p -
x 1 2
2p
x 0 - x 1 =-

x 0 2
2p -
x 2 2
2p
x 0 - x 2 ，
整理得2x ₀ =x ₁ +x ₂ ．…（12分）
∴直线MN的
斜率 k MN =
y 2 - y 1
x 2 - x 1 =

x 2 2
2p -
x 1 2
2p
x 2 - x 1 =
x 1 + x 2
2p =
-2 x 0
2p =-
x 0
p ．…（13分）
∴直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A ₁ 处的切线的斜率．…（14分）